Delivered at:: Faculty of Mathematics

Course type:: Compulsory course

When:: 1 year, 1-4 module

Instructors

Skripchenko, Alexandra

Schwarzman, Ossip

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Освоение дисциплины «Геометрия и линейная алгебра» является необходимым пререквизитом для большинства курсов, читаемых на факультете математики. В первую очередь к ним относятся курсы алгебры и анализа второго года обучения, анализ на многообразиях и функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, теория представлений, алгебраическая и дифференциальная топология, алгебраическая и дифференциальная геометрия и целый ряд других фундаментальных и прикладных курсов.

Цель освоения дисциплины

Целью изучения дисциплины является освоение основ линейной и матричной алгебры, их вычислительных и теоретических методов, а также воспитание геометрической интуиции и приобретение опыта работы с геометрическими фигурами в многомерных евклидовых, аффинных и проективных пространствах, в эллиптических пространствах и пространствах Лобачевского.

Планируемые результаты обучения

Знакомство с важными примерами фигур в проективных пространствах.
Знакомство с основами матричной алгебры: умножением матриц, элементарными преобразованиями строк и столбцов, критериями обратимости матрицы
Знание геометрических и алгебраических свойств алгебры кватернионов, опыт практических вычислений с кватернионами и их использования в задачах алгебры и геометрии.
Знание действия группы изометрий в конформных моделях гиперболического пространства.
Знание достаточных условий для одновременной диагонализации пары квадратичных форм и вычисление результата такой диагонализации.
Знание классификации движений 2- и 3-мерного евклидова пространства и умение описывать композиции движений в терминах этой классификации.
Знание классификации движений евклидовой плоскости и умение вычислять композиции движений в терминах этой классификации
Знание классификации невырожденных пучков коник и опыт её использования в геометрических задачах.
Знание классификации проективных квадрик и опыт её применения для решения геометрических задач.
Знание классификации проективных, аффинных и евклидовых кадрик и умение применять её в задачах алгебры, геометрии и анализа.
Знание метрической геометрии кривых и поверхностей второго порядка.
Знание образующих и соотношений алгебры матриц и умение пользоваться ими при вычислениях с матрицами
Знание основ выпуклой геометрии и простейших свойств открытых и замкнутых выпуклых фигур: существование опорных полупространств, свойства вершин, граней и крайних точек.
Знание основ гиперболической геометрии, умение применять линейную модель пространства Лобачевского для решения задач.
Знание основ сферической и эллиптической геометрии, умение применять линейную модель эллиптического пространства для решения задач.
Знание проективной, аффинной и евклидовой классификации кривых второго порядка.
Знание свойств инверсий и умение применять инверсии в геометрических задачах.
Знание фокальных свойств кривых второго порядка и умение применять их в геометрических и оптических задачах.
Использование матричных обозначений для задания линейных и аффинных преобразований, вычисления их композиций, а также для замен координат
Общее представление о геометрии пространства сфер и классификации пучков сфер, умение пользоваться ими в геометрических задачах.
Общее представление о группе изометрий пространства Лобачевского и её свойствах, умение пользоваться отражениями.
Общее представление о группе изометрий эллиптического пространства, умение пользоваться отражениями.
Общее представление о группе Мёбиусовых преобразований и её различных реализациях.
Общее представление о задачах линейной оптимизации и методах их решения.
Общее представление об ортогональной и специальной ортогональной группе, умение доказывать простоту группы $SO_3$
Опыт вычислений с минорами и с присоединённой матрицей, умение написать характеристический многочлен.
Опыт использования методов проективной геометрии в задачах аффинной геометрии.
Опыт работы с отражениями в гипрплоскостях и разложением ортогонального оператора в композицию таких отражений.
Опыт работы с полярным преобразованием относительно гладкой квадрики.
Опыт работы с проективными квадриками специального вида: Сегре, Плюккера и т.п.
Представление о геометрии гиперповерхности особых квадрик, множестве её особенностей и устройстве касательных пространств в гладких точках.
Представление об универсальной накрывающей группы $S03$ и о расслоении Хопфа.
Приобретение опыта использования грассмановых многочленов для решения алгебраических и геометрических задач.
Приобретение опыта работы с отражениями в гиперплоскостях для невырожденной квадратичной формы.
Решение систем линейных уравнений и обращение матриц методом Гаусса
Решение систем линейных уравнений и обращение матриц методом Гаусса.
Умение вычилять Пфаффиан кососимметричной матрицы.
Умение вычислять аналитические функции от линейного оператора методом полиномиальной интерполяции.
Умение вычислять векторные произведения (в том числе n-1 векторов в n-мерном пространстве) и применять их к решению геометрических задач.
Умение вычислять длины, углы и площади, а также выполнять простейшие геометрические построения на плоскости Лобачевского.
Умение вычислять длины, углы и площади, а также выполнять простейшие геометрические построения на сфере и на эллиптической плоскости.
Умение вычислять определители путём полного раскрытия, методом Гаусса, разложением по строке или по столбцу, а также по набору строк или набору столбцов, при помощи рекурсивных соотношений
Умение вычислять ориентированный объём n-мерного параллелепипеда.
Умение вычислять ортогоналы и ортогональные проекции, находить компоненты ортогональных разложений, строить ортонормальные базисы методом ортогонализации. Владение методом наименьших квадратов.
Умение вычислять расстояния, углы и объёмы в евклидовых пространствах любой размерности.
Умение вычислять с грассмановыми многочленами: замена переменных в гаррассмановом мономе, приведение грассмановой квадратичной формы к нормальному виду Дарбу, критерий разложимости грассмановой квадратичной формы
Умение вычислять углы между прямыми и расстояния между прямыми и точками на евклидовой плоскости, находить ортогональную проекцию и нормальную составляющую векторов по отношению к заданной прямой
Умение выяснять, диагонализуем ли линейный оператор, и если да, то находить базис из собственных векторов.
Умение достраивать изотропное подпространство невырожденной квадратичной формы до гиперболического.
Умение задавать аффинные подпространства системами линейных уравнений и строить аффинные реперы в пространствах решений систем линейных уравнений.
Умение задавать подпространства системами линейных уравнений и решать такие системы, описывать пересечения и суммы подпространств, а также фактор-пространства
Умение использовать матричный формализм для выражения одних векторов через другие, замен координат при замене базиса, написания матриц линейных отображений и преобразования этих матриц при заменах базисов
Умение использовать проективную группу в задачах аффинной геометрии, в частности, использовать вложение аффинной группы в проективную.
Умение находить корневые подпространства линейного оператора над алгебраически замкнутым полем.
Умение находить образы точек при аффинных преобразованиях, задаваемых различными способами, и строить аффинные преобразования с заданными геометрическими свойствами
Умение находить ортогоналы, вычислять ортогональные разложения и ортогональные проекции, а также двойственные базисы относительно невырожденной билинейной формы.
Умение находить планарность проективной квадрики.
Умение находить размерности и строить явные базисы для сумм и пересечений подпространств, заданных линейными уравнениями или наборами порождающих векторов, а также для фактор пространств по таким подпространствам
Умение находить сигнатуру вещественной квадратичной формы, а также размерности её гиперболической и анизотропной составляющих.
Умение находить собственные значения и собственные подпространства линейных операторов.
Умение находить характеристический и минимальный многочлен линейного оператора.
Умение обращать треугольные матрицы
Умение описывать аффинные оболочки и пересечения аффинных подпространств, заданных как аффинные оболочки наборов точек и как решения систем линейных уравнений, умение находить размерности таких подпространств, а также их сумм и пересечений
Умение описывать инвариантные подпространства линейного оператора.
Умение описывать линейное отображение, двойственное к данному, а также ядра и образы двойственных отображений
Умение описывать пространства, двойственные к подпространству и к фактор пространству
Умение отыскивать каноническое разложение ортогонального оператора в сумму поворотов в ортогональных двумерных плоскостях и, может быть, отражения в гиперплоскости.
Умение переходить от локальных аффинных координат к глобальным однородным и наоборот, а также от одних локальных аффинных координат к другим.
Умение перечислять грани выпуклых многогранников и многогранных конусов, знание фундаментальных геометрических свойств выпуклых многогранников и многогранных конусов: леммы Фаркаша, теоремы Минковского-Вейля, разложения Моцкина.
Умение пользоваться конформными моделями пространства Лобачевского в шаре и в полупространстве, умение переходить от одной модели к другой.
Умение пользоваться матрицами Грама и знание того, как они преобразуются при линейных заменах векторов.
Умение пользоваться полярным преобразованием относительно гладкой квадрики и находить уравнение двойственной квадрики.
Умение пользоваться явными формулами для решения невырожденной системы из n линейных неоднородных уравнений на n неизвестных и из n линейных однородных уравнений на n+1 неизвестных (правилами Крамера)
Умение приводить аффинные и евклидовы квадрики к главным осям, находить планарность, длины полуосей и т. п.
Умение приводить евклидовы коники к главным осям, находить их центры, фокусы, директрисы, длины полуосей, асимптоты и т. п.
Умение приводить кососиметричные билинейные и грассмановы квадратичные формы к нормальному виду Дарбу.
Умение приводить самосопряжённый оператор на евклидовом пространстве к диагональному виду в ортонормальном базисе.
Умение решать задачи на взаимное расположение прямых и точек в двумерном аффинном пространстве, решать системы линейных уравнений размера 2x2 по правилу Крамера, пользоваться барицентрическими координатами и центрами тяжести
Умение строить SVD-разложение линейного отображения между евклидовыми пространствами и применять его для решения геометрических задач.
Умение строить базисы и вводить координаты в конечномерных векторных пространствах, а также находить размерности таких пространств
Умение строить двойственные базисы в двойственных пространствах
Умение строить ортогональный базис для симметричной билинейной или квадратичных формы.
Умение строить полярное разложение ортогонального оператора на евклидовом пространстве.
Умение строить рациональную параметризацию гладкой коники и использовать её в задачах геометрии, алгебры и анализа.

Содержание учебной дисциплины

Векторное пространство k^2
Евклидова плоскость = комплексная прямая.
Линейные и аффинные преобразования плоскости, дифференциал аффинного преобразования.
Определение и примеры векторных пространств.
Подпространства.
Линейные отображения, размерность ядра и образа, непустые слои являются сдвигами ядра.
Матричная запись и различные геометрические интерпретации систем линейных уравнений и их решений.
Двойственное пространство, примеры линейных форм на различных пространствах.
Объём ориентированного параллелепипеда, полилинейные кососимметричные и знакопеременные формы, пространство кососимметричных $n$-лилинейных форм на $n$-мерном пространстве одномерно.
Евклидовы пространства.
Ортогональные преобразования и движения, описание движений плоскости и трёхмерного пространства.
Собственные векторы и собственные подпространства линейных операторов.
Одновременная диагонализация произвольного множества коммутирующих операторов, общие собственные векторы коммутирующих операторов.
Билинейные формы, их корреляции и матрицы Грама, преобразование матрицы Грама при замене базиса.
Ортогонализация симметричной билинейной формы над произвольным полем, специализации над полями R, C и F(p).
Кососимметричные билинейные формы.
Проективные пространства и проективизация, однородные координаты, аффинные карты и локальные аффинные координаты.
Симметрическая агебра векторного пространства и задание фигур однородными уравнениями, проективное замыкание аффинной гиперповерхности.
Группа PGL(V).
Геометрия гладких проективных квадрик.
Пространство квадрик, гладкие точки и касательное пространство к гиперповерхности особых квадрик, пучки квадрик, коранг особой квадрики пучка не меньше кратности соответствующего корня характеристического многочлена.
Конформная теория коник на евклидовой плоскости.
Аффинные пространства.
Выпуклая геометрия в R^n.
Евклидова геометрия квадрик в R^n.
Эллиптическое пространство E = P(V).
Пространство Лобачевского L⊂ P(V)$, где V — вещественное векторное пространство с невырожденной квадратичной формой сигнатуры (1, n), состоит из точек с положительным скалярным квадратом.
Конформная модель гиперболического пространства в шаре.
Геометрия кватернионов, понимаемых как комплексные матрицы 2x2, инвариантные относительно вещественной структуры, переводящей стандартную эрмитову форму на пространстве матриц в поляризацию квадратичной формы det.

Элементы контроля

Homework
Самостоятельное решение задач из листков с последующей устной сдачей
Colloquium
Устный коллоквиум по билетам
In-class assignment
Контрольные со стандартными задачами по темам курса
экзамен
устный экзамен по билетам
Homework
Самостоятельное решение задач из листков с последующей устной сдачей
Colloquium
Устный коллоквиум по билетам
In-class assignment
Colloquium

Промежуточная аттестация

2026/2027 2nd module
0.2KР +0.2Л +0.3 К+0.3 Э (где КР - контрольные работы, Л - листки, К - коллоквиум, Э - экзамен)
2026/2027 4th module
0.2KР +0.2Л +0.3 К+0.3 Э (где КР - контрольные работы, Л - листки, К - коллоквиум, Э - экзамен)

Список литературы

Авторы

Басалаев Алексей Андреевич
Городенцев Алексей Львович
Осипов Павел Сергеевич
Амбург Наталья Яковлевна

Bachelor’s Programme 'Mathematics'

Geometry and Linear Algebra

Instructors

Программа дисциплины