Кто читает:: Направление «Бизнес-информатика» Высшей школы бизнеса НИУ ВШЭ

Статус:: Курс обязательный

Когда читается:: 1-й курс, 1 модуль

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Дисциплина «Алгебра и геометрия» изучает основы линейной алгебры, аналитической геометрии и общей алгебры, а так же особенности использования методов аналитической геометрии и векторной алгебры в смежных дисциплинах и экономике для решения прикладных задач линейной алгебры, в том числе экономических.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с основами линейной алгебры, аналитической геометрии и общей алгебры; Формирование у студентов навыков использования методов линейной алгебры для формализации и решения прикладных задач, в том числе экономических и геометрических.

Планируемые результаты обучения

Знать точные формулировки основных понятий, - возможности координатного метода для исследования различных геометрических объектов, - основные теоремы о структуре множества решений систем линейных уравнений, - основные задачи векторной алгебры и аналитической геометрии, - основные виды уравнений простейших геометрических объектов, - основные свойства некоторых алгебраических структур (полей вещественных и комплексных чисел, линейного пространства над полем вещественных чисел),

Содержание учебной дисциплины

Введение.
Предмет курса. Принципы построения и изучения курса. Краткое содержание. Рекомендации по изучению курса, самостоятельной работе и литературе. О формах контроля и отчетности при изучении курса.
Некоторые сведения из теории определителей и систем линейных уравнений.
Определители матриц второго и третьего порядка. Примеры. Системы линейных уравнений (2 уравнения и 2 неизвестных, 3 уравнения и 3 неизвестных). Метод Крамера для систем с двумя и тремя неизвестными.
Векторная алгебра.
Линейные операции с векторами плоскости (пространства) и их свойства. Векторы. Единичные орты плоскости и пространства. Координаты векторов. Скалярное произведение, вычисление в координатах. Векторное произведение, вычисление в координатах. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл. Свойства рассматриваемых операций над векторами.
Системы координат и простейшие задачи, решаемые с использованием векторной алгебры.
Аффинная, декартова и полярная системы координат. Координаты точек плоскости (пространства). Деление отрезка в заданном соотношении. Вычисление площадей треугольника и параллелограмма. Вычисление объема параллелепипеда и тетраэдра.
Прямая линия на плоскости.
Различные виды уравнений прямой. Простейшие приложения: вычисление угла между прямыми, определение взаимного расположения двух прямых, условия параллельности и перпендикулярности, определение взаимного расположения точек относительно прямой, вычисление расстояния от точки до прямой, вывод уравнений биссектрис угла.
Прямая и плоскость в пространстве.
Различные виды уравнений плоскости. Простейшие приложения: вычисление расстояния от точки до плоскости, нахождение угла между плоскостями, исследование взаимно-го расположения плоскостей, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Различные уравнения прямой в пространстве. Простейшие приложения: вычисление угла между прямыми, нахождение угла между прямой и плоскостью, исследование взаимного расположения прямой и плоскости.
Кривые второго порядка.
Эллипс, гипербола, парабола. Вывод их уравнений и описание простейших свойств. Упрощение уравнений кривых второго порядка.
Алгебра матриц.
Определение матрицы. Частные виды матриц. Операции с матрицами и их свойства. Элементарные преобразования матриц. Ступенчатый вид матрицы. Вид Гаусса
Определители матриц. Обратимые матрицы.
Перестановки элементов конечного множества. Инверсии в перестановках. Четность перестановок. Подстановки. Порядок подстановки. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Умножение подстановок. Определитель матрицы. Свойства определителей. Миноры, алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Разложение определителя по элементам строки и столбца. Определитель с углом нулей. Определи-тель произведения двух матриц. Обратимые матрицы. Критерий обратимости матриц. Формула для вычисления обратной матрицы. Вычисление определителя матрицы и нахождение обратной матрицы с использованием элементарных преобразований.
Матрицы и системы линейных уравнений
Ранг матрицы. Теорема о ранге матриц. Теорема о базисном миноре. Ранг произведения матриц. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Критерии совместности и определенности систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Метод Крамера для решения квадратных си-стем линейных уравнений. Матричные уравнения.
Линейные пространства.
Линейные (векторные) пространства. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Свойства, связанные с линейной зависимостью. Линейная оболочка системы векторов. Нахождение ее базиса с использованием ступенчатой матрицы. - Базис и раз-мерность линейного пространства. Координаты вектора относительно базиса, запись опе-раций над векторами в координатах. Изменение координат вектора при изменении базиса. Матрица перехода от «старого» базиса к «новому». Подпространства линейных пространств и их базисы. Свойства линейно независимых систем векторов в подпространстве. Размерность линейной оболочки конечной системы векторов. Подпространство решений однородной системы линейных уравнений, его базис и размерность. Фундаментальная система решений и общее решение однородной системы линейных уравнений. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной систем. Векторная форма записи решений.
Поле комплексных чисел.
Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Модуль и аргумент. Операции над комплексными числами. Формула Муавра. Формула Эйлера. Показательная форма записи. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа. Геометрические свойства корней из комплексного числа. Решение квадратных уравнений.
Линейные преобразования (операторы) линейных пространств.
Билинейные и квадратичные формы. Линейные операторы и их матрицы. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобие матриц. Образ и ядро линейного отображения. Операции над линейными операторами. Собственные значения, собственные векторы линейных операторов. Линейная независимость собственных век-торов, отвечающих различным собственным значениям. Нахождение собственных значе-ний и собственных векторов линейного оператора. Характеристическое уравнение и ха-рактеристический многочлен квадратной матрицы. Приведение матрицы линейного опе-ратора к диагональному виду. Билинейные и квадратичные формы. Метод Лагранжа при-ведения квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.
Евклидовы пространства.
Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского, длины векторов и углы меж-ду векторами. Матрица Грама. Ортонормированный базис, процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональные матрицы. Переход от одного ортонормированного базиса к другому. Ортогональное дополнение линейного подпространства в евклидовом про-странстве. Ортогональная проекция вектора на подпространство (задача наилучшего приближения). Тема 15. Линейные преобразования евклидовых пространств. Самосопряжен-ные преобразования евклидовых пространств. Свойства собственных векторов и соб-ственных значений. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного преобразования в евклидовом пространстве. Ортогональные преобразования. Приведение квадратичной формы к главным осям с помощью ортогональной замены переменных.

Элементы контроля

Контрольная работа 1
Контрольная работа 2

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (1 модуль)
0.6 * Контрольная работа 1 + 0.4 * Контрольная работа 2

Бакалаврская программа «Управление информационными технологиями в бизнесе »

Адрес

Алгебра и геометрия

Программа дисциплины

Аннотация

Цель освоения дисциплины

Планируемые результаты обучения

Содержание учебной дисциплины

Элементы контроля

Промежуточная аттестация

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

Рекомендуемая дополнительная литература