Проекты и исследования по математике в средней и старшей школе

Программа обучения

• Введение в проектно-исследовательскую деятельность 2 часа

  Что такое учебный проект и учебное исследование? В чём разница между ними? Как найти тему исследовательской работы?  Как работать с литературой по найденной теме? Как правильно оформить работу и презентацию исследования?

• Математическое моделирование сложного поведения маятника в поле трех магнитов2 часа

  Анализ исследовательской работы о математическом моделировании: задача о поведении маятника, находящегося в полях трех магнитов. На первый взгляд данная задача является довольно простой: на экспериментальном столе установлены три магнита, сверху на нити подвешен стальной шарик, который расположен на довольно небольшом расстоянии от плоскости с магнитами. Задав некоторое случайное начальное положение маятника и отпустив его, мы можем наблюдать за его движением. Маятник будет совершать колебания под воздействием магнитных полей и в конечном счете остановится возле одного из магнитов (можно сказать, что "маятник притянется к магниту") или в другой особой точке. Иногда кажется очевидным ответ на вопрос, к какому из магнитов "притянется маятник". Однако на практике не всегда получается угадать, возле какого магнита остановится маятник.

  Использование систем дифференциальных уравнений; знакомство с численными методами решения дифференциальных уравнений - методом Эйлера; реализация программы численного моделирования системы, построение и анализ траектории движения, построение бассейнов притяжения магнитов

• Применение раскраски графов2 часа

  Сколько красок нужно, чтобы покрасить государства на карте мира так, чтобы соседние государства имели разные цвета? Ответ известен, но история этой задачи такова, что ее решение имеет большее значение, чем ответ. Отчасти потому, что решение затрагивает сразу несколько областей современной математики. Отчасти -- потому, что подход, примененный в решении одной задачи, можно применить и к другим. Слушателям предлагается разобраться в решении задачи о раскрашивании карты и найти применение изученных методов к другим прикладным задачам

• Топологические поверхности2 часа

  Знакомство с маломерной топологией и топологической классификацией поверхностей

• Озера Вады и одномерные аттракторы отображений поверхностей2 часа

  В 1917 году появилась конструкция одномерных континуумов на поверхностях, являющихся границей нескольких областей (озер Вады). Оказалось, что такие континуумы появляются естественным образом как одномерные аттракторы отображений поверхностей с хаотической динамикой.

  Элементы теории множеств, интересные конструкцияи множеств канторовского типа на поверхностях

• Задача о блинах с точными положениями разрезов2 часа

  "Задача о блинах" -- задача, в которой логическими рассуждениями относительно несложно доказывается некоторое утверждение, являющееся совершенно неочевидным, даже вначале кажущееся невероятным. Решение задачи – это теорема существования, она утверждает, что такой разрез существует, но не указывает, как его сделать. Вообще говоря, точное положение разреза найти трудно, но его удается найти в некоторых частных случаях. Поиску таких частных случаев с точными положениями разрезов и будет посвящена данная работа

• Конкурсы проектов и исследований2 часа

  Критерии оценки проектов и исследований учащихся – участников городской конференции НОУ «Эврика», конкурса проектов и исследований НИУ ВШЭ «Высший пилотаж». Подготовка к конференции и конкурсу. Разбор типичных ошибок. 

• Подготовка и защита итогового проекта4 часа