• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2020/2021

Теория вероятностей и математическая статистика

Статус: Курс обязательный (Информационная безопасность)
Направление: 10.03.01. Информационная безопасность
Когда читается: 2-й курс, 2-4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Язык: русский
Кредиты: 5
Контактные часы: 90

Программа дисциплины

Аннотация

Данный курс входит в ядро классического математического образования и преподается студентам второго курса в течение трех модулей. Две логические части курса - теория вероятностей и математическая статистика - делят отведенное время примерно поровну с небольшими креном в сторону теории вероятностей. В первой части курса (теория вероятностей) рассматриваются классические темы начиная с аксиоматики и заканчивая предельными теоремами. Относительно большее внимание уделяется условным моментам многомерных случайных величин. Раздел статистики стартует с методов описательной статистики, однако быстро переходит к методам статистического вывода, поскольку они требуют гораздо больше времени на объяснение. Темы, затрагиваемые здесь, традиционны и включают выборочные распределения, точечные и интервальные оценки, тестирование гипотез, модели линейной регрессии. В ходе изложения курса поддерживается определенный баланс между математической строгостью и ясностью изложения. Иногда эта дилемма разрешается в пользу иллюстрирующих примеров, помогающих студенту ухватить суть идеи и позволяющих применить полученные знания для решения практической задачи, а не концентрироваться на запоминании вывода формул. Тем не менее во всех уместных случаях все относительно компактные доказательства приводятся.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целью курса является знакомство студентов с аппаратом теории вероятностей и математической статистики и развитие навыков решения практических задач в рамках теоретико-вероятностного и статистического подхода. Дисциплина является базисом для ряда будущих и текущих дисциплин, таких, как "Моделирование систем и процессов", "Математические основы защиты информации" и др.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • по окончании соответствующего раздела курса студенты должны уметь применять правила комбинаторики для подсчета количества событий, знать и применять аксиомы теории вероятностей для решения задач, включая теоретико-множественный подход
  • по окончании соответствующего раздела курса студенты должны понимать и оперировать на практике концепцией условной вероятности, понимать суть независимости событий, уметь пользоваться формулой полной вероятности и формулой Байеса.
  • по окончании соответствующего раздела курса студенты должны понимать суть дискретной случайной величины и способы ее задания в виде распределения, знать свойства функции распределения, уметь рассчитывать моменты произвольного распределения, знать основные виды распределений.
  • по окончании соответствующего раздела курса студенты должны понимать суть непрерывной случайной величины, знать способы ее задания в виде плотности и функции распределения, знать свойства последних, знать основные виды используемых на практике распределений непрерывных величин, особенно нормального.
  • по окончании соответствующего раздела курса студенты должны знать способы задания многомерной случайной величины, уметь проводить маржинализацию распределений, получать условные распределения и моменты. Знать и уметь пользоваться формальным определением независимости случайных величин. Уметь рассчитывать корреляцию между парами случайных величин. Уметь выводить и пользоваться выражением для плотности суммы двух независимых величин
  • по окончании соответствующего раздела курса студенты должны понимать суть и уметь использовать на практике закон больших чисел и центральную предельную теорему.
  • по окончании соответствующего раздела курса студенты должны уметь применять основные методы описательной статистики
  • по окончании соответствующего раздела курса студенты должны понимать общий подход к построению распределения параметров распределения и знать их вид для среднего, доли, разности средних и разности долей
  • по окончании соответствующего раздела курса студенты должны знать принципы построения точечных и интервальных оценок, знать формулу разложения среднеквадратичной ошибки на смещение и разброс, уметь строить доверительные интервалы для различных параметров распределения
  • по окончании соответствующего раздела курса студенты должны знать общий принцип тестирования гипотез, применять его для вывода о параметрах распределения или его вида
  • по окончании соответствующего раздела курса студенты должны знать и уметь пользоваться на практике моделями линейной регрессии, включая оценку параметров методом наименьших квадратов и построения соответствующих доверительных интервалов
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Введение: аксиомы теории вероятностей, основы комбинаторики
    Принципы подсчета количества событий. Комбинаторный анализ: комбинации, перестановки, выборки с/без замещением, биномиальные и полиномиальные коэффициенты. Эксперименты и события, пространство событий. Определение и интерпретации понятия ``вероятность события''. Аксиомы теории вероятностей. Вероятность с точки зрения теории множеств, диаграммы Венна. Вероятность суммы, произведения событий.
  • Условные вероятности и независимость событий.
    Определение условной вероятности. Независимые и взаимно исключающие события. Полная группа событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Деревья событий. Задача о разорении игрока.
  • Дискретные случайные величины.
    Понятие случайной переменной (величины). Дискретные и непрерывные случайные переменные. Вероятностное распределение дискретной случайной величины. Функция распределения и ее свойства. Среднее значение и дисперсия случайной величины. Высшие моменты. Основные дискретные распределения: равномерное, биномиальное, распределение Пуассона. Схема независимых испытаний Бернулли. Функции случайной величины.
  • Непрерывные случайные величины.
    Понятие случайной непрерывной переменной (величины). Плотность и функция распределения непрерывной величины и их свойства. Среднее, дисперсия и высшие моменты непрерывной случайной величины. Основные непрерывные распределения (равномерное, экспоненциальное, хи-квадрат, распределение Стьюдента, F-распределение). Нормальное распределение и его свойства. Приближение биномиального распределения нормальным (формула Муавра-Лапласа).
  • Многомерные случайные величины.
    Вероятностное распределение многомерной случайной величины. Среднее значение, парная ковариация и корреляция. Условное распределение, условные средние и дисперсии. Маржинализация. Определение независимых случайных величин. Распределение суммы независимых случайных величин. Многомерное нормальное распределение и его свойства.
  • Предельные теоремы.
    Неравенства Маркова и Чебышева, закон больших чисел (слабая форма). Центральная предельная теорема. Закон больших чисел (сильная форма). Сходимость по вероятности.
  • Методы описательной статистики.
    Предмет, цели и задачи математической статистики. Генеральная совокупность, выборка. Количественные и качественные переменные. Визуальное представление данных: гистограмма, диаграмма ствол-и-листья. Меры положения эмпирического распределения: выборочное среднее, медиана. Мода. Квартили и персентили. Меры ширины эмпирического распределения: размах, выборочная дисперсия, интерквартильный размах.
  • Выборочные распределения.
    Выборочные распределения для среднего и дисперсии.
  • Точечные и интервальные оценки параметров распределения.
    Свойства оценок: смещение, разброс (дисперсия), среднеквадратическая ошибка. Состоятельные оценки. Методы нахождения оценок: метод моментов, метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия. Понятие доверительного интервала. Доверительные интервалы для среднего и дисперсии. Доверительные интервалы для разности средних и отношения дисперсий. Доверительные интервалы для долей, в т.ч. разности долей.
  • Тестирование гипотез
    Постановка задачи. Основная и альтернативная гипотезы. Одно- и двухсторонние альтернативные гипотезы. Статистика, критическая область, уровни значимости. Ошибка I и II рода. p-значения. Мощность статистического теста. Тестирование гипотез о среднем, доле, дисперсии, разности средних и долей. Связь с доверительными интервалами. Пpовеpка гипотез и довеpительные интеpвалы для коppеляции. Гипотезы о виде распределения: хи-квадрат тест, тест Колмогорова-Смирнова. Хи-квадрат тест на ассоциацию между качественными переменными.
  • Модели линейной регрессии.
    Одномерная модель линейной регрессии. Метод наименьших квадратов. Коэффициент детерминации. Средние и дисперсии для коэффициента угла наклона и свободного члена, доверительные интервалы и тестирование гипотез. Предсказания по модели линейной регрессии. Модель множественной регрессии.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий контрольные работы
    4 аудиторных контрольных работы, каждая с равным весом
  • неблокирующий экзамен
  • неблокирующий защита текущего домашнего задания
    Студенты должны выполнять еженедельное текущее ДЗ и в электронном виде отправлять его в LMS. Соответствующая папка доступна для загрузки только в течение одной недели после выдачи очередного задания.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.15 * защита текущего домашнего задания + 0.45 * контрольные работы + 0.4 * экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Алибеков И.Ю. - Теория вероятностей и математическая статистика в среде MATLAB: учебное пособие - Издательство "Лань" - 2019 - 184с. - ISBN: 978-5-8114-3846-4 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/121484
  • Гмурман В. Е. - РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ 11-е изд., пер. и доп. Учебное пособие для вузов - М.:Издательство Юрайт - 2020 - 406с. - ISBN: 978-5-534-08389-7 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/rukovodstvo-k-resheniyu-zadach-po-teorii-veroyatnostey-i-matematicheskoy-statistike-449645
  • Гмурман В. Е. - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 12-е изд. Учебник для вузов - М.:Издательство Юрайт - 2020 - 479с. - ISBN: 978-5-534-00211-9 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-veroyatnostey-i-matematicheskaya-statistika-449646

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Андрухаев Х. М. - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. СБОРНИК ЗАДАЧ 3-е изд., испр. и доп. Учебное пособие для прикладного бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 177с. - ISBN: 978-5-9916-8599-3 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-veroyatnostey-i-matematicheskaya-statistika-sbornik-zadach-437095
  • Болотюк В.А., Болотюк Л.А. - Теория вероятностей. Практикум и индивидуальные задания по комбинаторике (типовые расчеты): учебное пособие - Издательство "Лань" - 2018 - 72с. - ISBN: 978-5-8114-3332-2 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/109502
  • Кацман Ю. Я. - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ. Учебник для прикладного бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 130с. - ISBN: 978-5-534-10082-2 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-veroyatnostey-i-matematicheskaya-statistika-primery-s-resheniyami-433980