Введение в высшую математику

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (География глобальных изменений и геоинформационные технологии)

Направление: 05.03.02. География

Кто читает: Кафедра высшей математики

Где читается: Факультет географии и геоинформационных технологий

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Елаева Мария Сергеевна

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 128

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина «Введение в высшую математику» предназначена для студентов 1 курса и не требует математической подготовки, превышающей программу средней школы. Студенты познакомятся с фундаментальными определениями и теоремами, получат навыки применениям различных методов математического анализа, линейной алгебры, методов оптимизации и теории графов. Это, в свою очередь, позволит сформировать математическую базу для последующего курса «Теория вероятностей и математическая статистика» и других специализированных курсов.

Цель освоения дисциплины

1 Изучение фундаментальных математических понятий (определения и теоремы) 2 Получение представления о различных дисциплинах высшей математики и их методах, а также обучение применению указанных методов для решения практических задач 3 Формирование теоретической базы для изучения последующих математических и естественно-научных дисциплин

Планируемые результаты обучения

владеть базовыми понятиями и методами высшей математики

Содержание учебной дисциплины

Тема 1.1. Действительные и комплексные числа.
Действительные числа, их свойства и операции с ними. Принцип Архимеда. Принцип вложенных отрезков. Комплексные числа, определение, свойства, геометрическая интерпретация. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Тема 1.2. Предел числовой последовательности.
Определение. Единственность. Арифметические теоремы о пределах, переход к пределу в неравенствах. Бесконечно малые последовательности. Сходящиеся последовательности и их основные свойства. Монотонные последовательности. Число e.
Тема 1.3. Функция. Предел функции.
Определение функции. Обратная функция, суперпозиция функций, понятие неявной функции, понятие многозначной функции. Предел функции в точке и его основные свойства. Замечательные пределы.
Тема 1.4. Непрерывность функций. Максимум и минимум функций.
Непрерывность функций. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация. Существование минимума и максимума функции, непрерывной на отрезке. Теорема о промежуточных значениях. Элементарные функции и их непрерывность.
Тема 1.5. Производная
Задача о вычислении скорости движущейся точки. Задача о проведении касательной к кривой. Определение производной. Примеры вычисления производной. Сводка формул для производных. Арифметические операции и производная. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Производные высших порядков.
Тема 1.6. Основные теоремы дифференциального исчисления.
Теоремы Ферма, Ролля. Теорема Лагранжа, ее следствия, теорема Коши. Правило Лопиталя. Формулы Тейлора для многочлена. Разложение произвольной функции. Различные представления остаточных членов (Коши, Лагранжа). Разложение в ряд exp, sin, cos и др. функций.
Тема 1.7. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
Условие монотонности. Условие внутреннего экстремума функции. Условие выпуклости и вогнутости функции. Построение графика функции.
Тема 1.8. Интегрирование. Неопределенный интеграл.
Первообразная. Табличные интегралы. Основные свойства интеграла. Интегрирование методом подстановки. Интегрирование по частям. Интегрирование выражений содержащих рациональные выражения, иррациональные выражения, тригонометрические функции.
Тема 1.9. Интегрирование. Определенный интеграл.
Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям для определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
Тема 1.10. Понятие многомерного координатного пространства и функций нескольких переменных.
Понятие n-мерного координатного пространства, норма и расстояние. Понятие функции нескольких переменных. Непрерывные функции нескольких переменных, их основные свойства.
Тема 1.11. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных.
Частные производные, производные от сложных функций. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях. Градиент.
Тема 1.12. Ряд Тейлора для функций нескольких переменных
Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Локальный экстремум функции нескольких переменных.
Тема 1.13. Неявные функции. Метод неопределнных множителей Лагранжа.
Понятие неявной функции. Дифференцируемость неявной функции. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Примеры.
Тема 1.14. Дифференциальные уравнения.
Определение дифференциального уравнения. Примеры математических моделей реальных процессов. Задача Коши. Существование и единственность решений. Уравнения с разделяющимися переменными, примеры. Уравнения в полных дифференциалах, примеры.
Тема 2.1. Матрицы
Операции с матрицами, сложение матриц, умножение на число, свойства. Произведение матриц, свойства. Транспонированная матрица, свойства операции транспонирования. Обратная матрица, ее свойства. Степень матрицы, многочлен от матрицы.
Тема 2.2. Системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений. Элементарные преобразования. Метод Гаусса
Тема 2.3. Определитель.
Определитель. Свойства определителя. Разложение определителя по строке (столбцу). Определитель Вандермонда. Теорема Крамера.
Тема 2.4. Векторное пространство
Определение, примеры, свойства. Системы векторов, примеры. Линейная зависимость и независимость векторов, примеры, свойства. Полные системы векторов, свойства.
Тема 2.5. Размерность линейного пространства. Базис
Теорема о размерности линейного пространства с базисом, следствие. Теорема о соотношении базиса с линейно независимой и полной системами. Примеры вычисления размерности некоторых пространств.
Тема 2.6. Ранг матрицы
Вычисление ранга матрицы. Ступенчатая форма матрицы, теорема о ранге матрицы ступенчатой формы.
Тема 2.7. Критерий совместности системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
Критерий совместности системы линейных уравнений. Критерий существования нетривиального решения однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.
Тема 3.1. Задачи линейного программирования. Симплекс-метод.
Канонический вид задачи линейного программирования. Эквивалентные преобразования. Симплекс-метод, геометрическая интерпретация
Тема 3.2. Двойственные задали линейного программирования.
Двойственные задали линейного программирования, правила построения. Двойственный симплекс-метод
Тема 3.3. Транспортная задача
Транспортная задача, построение начального опорного плана. Проверка плана на оптимальность, метод потенциалов, обоснование.
Тема 4.1. Теория графов. Основные определения.
Основные определения: граф, элементы графа, пути, цепи, петли контуры, циклы, деревья. Способы задания графа (матрица смежности и инцидентности). Эйлеров цикл и цепь, задача о кенингсбергских мостах.
Тема 4.2. Задача коммивояжера
Гамильтоновы циклы и цепи. Задача коммивояжера и алгоритм ее решения (метод ветвей и границ).
Тема 4.3. Алгоритмы поиска кратчайших путей на графе.
Кратчайший путь на графе между двумя заданными вершинами: алгоритм Дейкстры, алгоритм Форда. Алгоритмы поиска кратчайших путей между всеми парами вершин: алгоритм Флойда.
Тема 4.4. Потоки в сетях.
Теорема Форда-Фалкерсона о максимальном потоке и минимальном разрезе. Алгоритм нахождения максимального потока.

Элементы контроля

контрольная работа 1
контрольная работа 2
контрольная работа 3
контрольная работа 4
проверочные работы, домашние задания 1
проверочные работы, домашние задания 2
экзаменационная работа 2
экзаменационная работа 1

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.25 * контрольная работа 1 + 0.25 * контрольная работа 2 + 0.15 * проверочные работы, домашние задания 1 + 0.35 * экзаменационная работа 1
Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.25 * контрольная работа 3 + 0.25 * контрольная работа 4 + 0.15 * проверочные работы, домашние задания 2 + 0.35 * экзаменационная работа 2

Программа дисциплины