• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2020/2021

Введение в алгебраическую теорию чисел

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Статус: Дисциплина общефакультетского пула
Когда читается: 1, 2 модуль
Язык: русский
Кредиты: 6
Контактные часы: 60

Программа дисциплины

Аннотация

Алгебраическая теория чисел – классическая область математики, сформировавшаяся в ходе исследования решений диофантовых уравнений, а также благодаря попыткам доказать теорему Ферма. Сейчас это обширная классическая область лежащая в основании Арифметической геометрии. В этом курсе мы напомним основы теории Галуа, рассмотрим так называемую теорию ветвления, докажем основные теоремы о структуре идеалов (разложения на простые идеалы), докажем теорему Дирихле о структуре S-единиц, теорему о конечности группы классов. Мы осветим очень важную аналогию между теорией алгебраических чисел и теорией алгебраических кривых над конечными полями, а также расскажем о геометрии Аракелова позволяющей построить «компактификацию» кривой над кольцом целых алгебраических чисел.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Цель курса дать введение в алгебраическую теорию чисел. Познакомить с основными понятиями проблемами и методами. Дать преставление об основных теоремах, таких как теорема о структуре разложения на множители для идеалов, теорема Дирихле о структуре S-единиц, теорема о конечности группы классов. Познакомить слушателей с техникой Аделей и дать начальные представление о геометрии Аракелова.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • освоение операций над расширениями полей
  • возможность проводить вычисления для разложения идеала на простые множители
  • овладения описанием группы Галуа для Локальных и глобальных полей
  • вычисление образующий группы единиц и группы классов идеалов
  • освоение операций с алгебраическими числами
  • Овладение теорией приближений
  • вычисление норм и следов алг элементов.Вычисление дифферент
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Теория полей. Сепарабельные, чисто несепарабельные, нормальные расширения Расширения Галуа.
    Введение в теорию полей и теорию вложений
  • Целые алгебраические числа и их свойства
  • Пополнения и p-адические числа.
  • Теория ветвления. Нормы Следы. Дифферента Дискриминант.
  • Дедекиндовы кольца теория разложения на просты идеалы. Группа классов
  • Локальная и глобальная теория полей классов
  • Теорема о конечности группы классов идеалов. Теорема Дирихле о единицах. Теорема Минковского.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий списки задач необходимых к сдаче
    имеет вес 1/3 в общей оценке
  • неблокирующий письменный домашний экзамен.
    имеет вес 2/3 в общей оценке
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.7 * письменный домашний экзамен. + 0.3 * списки задач необходимых к сдаче
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Алгебра, Ленг, С., 1968
  • Алгебраическая теория чисел, , 1969
  • Алгебраические числа, Ленг, С., 1966
  • Алгебраические числа, Ленг, С., 1966

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Local fields, Serre, J.- P., 1979
  • Теория чисел, Боревич, З. И., 1964