Компактные разностные схемы для линейных уравнений в частных производных

<p>Построены компактные разностные схемы высокого порядка для аппроксимации одномерных линейных дифференциальных уравнений в частных производных: уравнения диффузии (в том числе и с переменными коэффициентом, не зависящим от времени), модифицированного уравнения Шредингера и уравнения поперечных колебаний стержня.</p><p>В то время как классический подход к построению разностных схем обычно (если не принимать во внимание методы типа расщепления, переменных направлений, и полунеявные схемы) опирается на раздельную аппроксимацию по пространству и времени, компактный подход подразумевает совместную аппроксимацию по всем переменным. Для определения коэффициентов компактных схем использован метод тестовых функций: от разностного соотношения требуется быть верным при подстановке простейших мономов возрастающих степеней. Представленный подход к построению компактных схем можно использовать для численного решения многих (не только линейных) задач математической физики и финансовой математики.</p><p>В частности здесь для уравнений диффузии и Шредингера было построено несколько вариантов компактных разностных схем, среди которых путем сравнения характеристик (в том числе и с использованием численных экспериментов) были найдены наиболее оптимальные схемы. Порядок аппроксимации, устойчивость, эффективность и различные типы монотонности представленных схем были оценены, и эти оценки были подтверждены численными экспериментами. Полученные схемы с высокой точностью сохраняют первый интеграл для тех однородных уравнений, у которых они имеются: Шредингера и поперечных колебаний стержня. Рассмотрены вопросы компактной аппроксимации граничных условий для уравнения поперечных колебаний стержня.</p><p>Полученные схемы могут быть использованы как модули более сложных вычислительных систем. Также представленные результаты создают важный задел для разработки компактных разностных схем для подобных и более сложных задач: усложненных уравнений с производными высоких порядков не обязательно разрешенных относительно старшей производной по времени, уравнений с переменными коэффициентами, многомерных уравнений и систем.</p>