Квадратизация дифференциальных уравнений

Динамические системы являются неотъемлемой частью современной прикладной математики. С помощью динамических систем описываются явления в таких областях как физика, химия, биология , экономика и многих других. Математические методы позволяют проводить с ними такие операции как упрощение и анализировать такие их свойства как устойчивость и достижимость. Многие динамические системы, встречающиеся на практике, описываются с помощью нелинейных дифференциальных уравнений. Анализ таких систем является молодой областью со множеством открытых вопросов, в отличие от анализа линейных систем. Поэтому не удивительно, что многие известные методы для работы с нелинейными системами полагаются на аппрокcимацию нелинейных элементов линейными. К сожалению, такой подход часто ведёт к неудовлетворительным результатам. Поэтому, большой интерес заслужили подходы, целиком полагающиеся на нелинейную природу систем, которыми они оперируют. Отдельно выделим метод понижения порядка моделей QLMOR, который показывает state-of-the-art результаты, сохраняя при этом динамику исходной системы. Данный метод полагается на процесс квадратизации - приведения системы нелинейных дифференциальных уравнений к квадратичному виду. Однако, алгоритм квадратизации в своём текущем виде пригоден только для использования человеком. Из-за этого, для больших систем уравнений проводить её крайне долго и сложно. Более того, нет гарантий, что мы провели квадратизацию с минимальным количеством введённых дополнительных уравнений, что критично в задаче понижения порядка моделей. В данной работе мы приводим модифицированный алгоритм квадратизации, который может быть вычислен на электронных устройствах. Таким образом, мы получаем возможность автоматизировать и ускорить процесс квадратизации, гарантируя при этом его оптимальность. Так же, в работе приведено сравнение возможных вариантов реализации алгоритма и отобраны лучшие из них.