Комбинаторные аспекты инвариантов топологических объектовCombinatorial Aspects of Invariants of Topological Objects

Настоящая диссертация посвящена комбинаторным аспектам теорииинвариантов узлов и зацеплений конечного порядка (инвариантов Васильева). Теория Васильева связывает между собой инварианты топологических объектов --- узлови зацеплений --- и инварианты комбинаторных объектов --- вложенных графов.Доказанная в 1993 г. М. Концевичем теорема утверждает, что набор указанных В. А. Васильевымограничений на получающиеся инварианты вложенных графов является полным.Другими словами, изучение весовых систем --- инвариантов вложенных графов,удовлетворяющих соотношениям Васильева, --- эквивалентно изучениюинвариантов конечного порядка узлов и зацеплений. Тем самым, изучениевесовых систем способно пролить свет на теорию инвариантов зацеплений. Одной из центральных задач в теории инвариантов конечного порядка являетсяконструирование таких инвариантов. Оно может быть выполнено в терминах предъявления весовых систем. Зачастую конструируемые инварианты вложенных графов выражаются на языке дельта-матроидов.Теория дельта-матроидов была разработана А. Буше в 80-х годах прошлого века.Дельта-матроид оказался удобным комбинаторным объектом, кодирующим целый ряд важных свойств какграфов, так и вложенных графов.  Один из главных результатов диссертации состоит в перенесениипонятия весовой системы на инварианты дельта-матроидов. Другим важным инструментом изучения весовых систем является опора наих алгебраические свойства. Как показал М. Концевич, пространство,порожденное хордовыми диаграммами по модулю соотношений Васильева,наделено естественной структурой коммутативной кокоммутативной градуированной алгебры Хопфа.Многие инварианты графов и хордовых диаграмм демонстрируют естественное поведение относительно этойструктуры, что позволяет при их изучении разделить индивидуальные свойства инвариантаи структурные свойств алгебры Хопфа. На пространстве вложенных графов не удается ввести аналогичнуюструктуру, однако нам удалось построить ее на пространстве дельта-матроидов.В результате, ряд инвариантов узлов удается продолжить до инвариантов многокомпонентных зацеплений.