Следовые методы в алгебраической геометрииTrace methods in algebraic geometry

Диссертация посвящена изучению следовых конструкций в высших категориях и их применений в доказательствах формул неподвижных точек в алгебраической геометрии. В качестве основного приложения доказывается эквивариантная теорема Гротендика-Римана-Роха, одновременно обобщеающая обычную теорему Гротендика-Римана-Роха и голоморфную формулу Атьи-Ботта. Чтобы доказать неэквивариантный случай подробно изучается групповая структура на производном пространстве петель. В частности, дается описание характера Черна и класса Тодда в этих терминах.В первой главе вводиться формализм следов в $(\infty,2)$-категориях и изучаются его базовые свойства. Во второй главе описываются морфизмы следов между категориями, приходящими из алгебраической геометрии, в терминах канонической групповой структуры на производных пространствах петель. В последней главе доказывается критерий формальности для производного неподвижного множества, и с помощью него и результатов предыдущих глав выводится эквивариантная теорема Гротендика-Римана-Роха.