Научно-исследовательский семинар Магистерской программы 2

Магистратура 2025/2026

Статус: Курс обязательный (Совместная магистратура НИУ ВШЭ и ЦПМ)

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 84

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Курс направлен на развитие и поддержку исследовательских навыков: обсуждение, развитие и внедрение инновационных методов и подходов к вопросам обучения математики в школе и охватывает ключевые аспекты планиметрии и стереометрии. Курс включает как теоретические основы, так и практические задачи, направленные на развитие у студентов навыков решения геометрических задач. В рамках курса рассматриваются аксиомы геометрии, свойства точек, прямых и плоскостей, а также методы построения и анализа различных геометрических объектов. Предусматривается обсуждение избранных важных разделов и тем элементарной геометрии, самостоятельное решение задач и обсуждение методической составляющей. Особое внимание уделяется разверткам многогранников, вопросам параллельности и перпендикулярности в пространстве, построению сечений в призмах и пирамидах, а также вычислению расстояний и углов между различными элементами в пространстве. Практическая часть курса включает решение задач различной сложности, связанных с вычислением расстояний, углов, объемов и площадей, а также разработку примеров задач для правильного тетраэдра, правильной треугольной призмы, куба и других геометрических фигур.

Цель освоения дисциплины

Целью освоения является формирование глубоких знаний и практических навыков в элементарной геометрии, необходимых для успешного преподавания геометрии в школе. Программа направлена на развитие способности студентов анализировать и решать геометрические задачи на плоскости и в пространстве, применять различные методы и теоремы элементарной геометрии, а также формирование умений убедительно и ясно объяснять соотвествующие идеи и приемы ученикам.

Планируемые результаты обучения

Владение следующими знаниями: Основные понятия и теоремы стереометрии, их доказательства и применение. Методы решения задач по стереометрии, включая задачи на вычисление объемов, площадей поверхностей, расстояний и углов. Современные подходы к преподаванию стереометрии в школе.
Владение следующими умениями: применять теоретические знания для решения практических задач по стереометрии; разрабатывать учебные планы и материалы для уроков стереометрии; использовать различные методы и технологии для объяснения сложных понятий стереометрии учащимся; анализировать и оценивать учебные достижения учащихся, корректируя учебный процесс при необходимости.
Развитие следующих навыков: коммуникативные навыки, необходимые для эффективного взаимодействия с учениками и коллегами; навыки критического мышления и анализа математических проблем; навыки использования современных образовательных технологий в процессе преподавания стереометрии; навыки самообразования и профессионального роста в области преподавания математики.
формирование представления о логической структуре школьного курса геометрии
овладение методами доказательства геометрических утверждений, основанных на применении принципа Карно и понимание свойств четырёхугольников с перпендикулярными диагоналями, умение устанавливать связи между этими свойствами и условиями вписанности и описанности таких четырёхугольников; способность формирования у учащихся видеть геометрические закономерности
освоение типовых дополнительных построений, таких как вспомогательные окружности, квадраты, площади и объемы, используемых для решения геометрических задач, и развитие способности наглядно демонстрировать их эффективность ученикам, облегчая понимание ключевых моментов и улучшая качество самостоятельного рассуждения школьников
овладение концепциями радикальной оси и центра, понимание аналогии этих идей в стереометрии, умение решать геометрические задачи с применением минимального набора инструментов (одной линейкой) и убедительно объяснять соответствующие построения и выводы ученикам
представление об организации поэтапного усвоения учениками геометрического материала, обеспечивая плавный переход от интуитивного восприятия геометрических объектов в 5-6 классах к осознанному применению признаков равенства треугольников и выполнению конструктивных задач на построение в основной школе
освоение методов нахождения и доказательства свойств вписанных, описанных и вневписанных окружностей треугольников, леммы о трезубце, изучение свойств некоторых замечательных точек и прямых в треугольнике, а также осознание роли вневписанной окружности в решении стереометрических задач, чтобы ясно и доступно объяснять эти концепции школьникам
умение эффективно использовать движения на плоскости и в пространстве, преобразования подобия и другие виды преобразований для упрощения решений геометрических задач, особенно задач на построение, а также приобрести умение понятно объяснять эти приёмы ученикам, показывая важность движений в процессе геометрических построений даже одной лишь линейкой
овладение решением экстремальных задач, таких как задача Герона Александрийского и точка Ферма-Торичелли, освоение теоремы Штейнера-Лемуса и подобных проблем, развивая навыки критического мышления и умение чётко и доходчиво передавать эти знания своим ученикам, раскрывая красоту и значимость экстремальных задач в изучении геометрии
освоение теории окружности девяти точек и прямой Эйлера, изучение разных способов доказательства связанных с ними фактов, и умение доступно объяснять ученикам важные аналогии этих явлений в стереометрии, стимулируя интерес к глубокому познанию геометрических закономерностей
освоение различных подходов к введению и применению векторов в школьном курсе математики, понимание универсальности векторных методов для решения задач на плоскости и в пространстве, умение объяснять ученикам концепцию центроида системы точек и развивать у них уверенность в работе с векторными моделями
освоение приемов применения геометрических методов для решения задач из курсов арифметики, алгебры и математического анализа, приобретение навыка демонстрации наглядных связей между разными разделами математики и умение ясно объяснять эти идеи ученикам, помогая увидеть единую картину математического знания

Содержание учебной дисциплины

Изучение геометрии в 7 классе
Логика в школьном курсе геометрии
Вслед за теоремой Пифагора
Вписанная, описанная и вневписанная окружности треугольников
Движения на плоскости и в пространстве
Экстремальные задачи в курсе геометрии
Типовые дополнительные построения
Окружность девяти точек
Различные подходы к изучению векторов в школьном курсе и как их применять при решении задач
Геометрические решения негеометрических задач
Радикальная ось двух окружностей, радикальный центр трёх окружностей
Аксиомы стереометрии
Развёртки многогранников.
Параллельность в пространстве
Построение прямой, проходящей через точку параллельно данной прямой
Параллельное проектирование
Построение линии пересечения двух плоскостей
Теорема Менелая
Угол между двумя прямыми в пространстве
Перпендикулярность в пространстве
Ортогональное проектирование
Построение сечений в призмах и пирамидах
Двугранный угол
Методы вычисления углов
Трёхгранный угол и ему полярный угол
Расстояния в пространстве
ГМТ пространства, связанные с расстоянием
Определения и свойства тел вращения
Площади поверхностей многогранников, цилиндра и конуса
Определения и свойства объёма многогранников
Вписанные, описанные и касающиеся шары

Элементы контроля

итоговый контроль за 3 модуль
итоговый контроль за 3 модуль проводится в форме устной беседы с каждым магистрантом, состоящей из двух частей: 1) представление магистрантом выбранной им задачи, которая не рассматривалась на занятиях и грамотный разбор её решения так, как бы оен его делал для школьников (в соответствии с выбором класса, которому она адресована); 2) обсуждение с магистрантом: что из курса он извлёк полезного для своей работы со школьниками.
итоговый контроль за 4 модуль

Промежуточная аттестация

2025/2026 4th module
0.5 * итоговый контроль за 3 модуль + 0.5 * итоговый контроль за 4 модуль

Список литературы

Авторы

Рослова Лариса Олеговна
Гончарова Инна Владимировна

Программа дисциплины