2025/2026
Линейная алгебра
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Онлайн-часы:
111
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
6
Программа дисциплины
Аннотация
Базовый онлайн курс линейный алгебры, содержащий все ключевые для статистки и многомерного анализа приложения и алгоритмы, хотя и не всегда содержащий подробные доказательства.Мы поговорим о понятии линейности и линейного пространства, конечномерного пространства, линейного функционала, линейного оператора. Научимся оперировать матрицами, находить удачные базисы для линейных операторов (диагонализировать матрицу, если это возможно, найти жорданов базис в случае пространств небольшой размерности). Мы обсудим теорему Перрона-Фробениуса и ее приложение к индексированию страниц в интернете. Мы будем изучать квадратичные формы и их приведение к главным осям.
Цель освоения дисциплины
- овладеть методами исследования и решения систем линейных уравнений, освоить теорию линейных операторов и преобразований, научиться работать с билинейными и квадратичными формами, а также приобрести навыки построения жордановой нормальной формы матриц и применения метода наименьших квадратов.
Планируемые результаты обучения
- умение формулировать строгое определение линейного пространства, понимание основных свойств линейных пространств и умение распознавать подпространства заданного линейного пространства.
- владение понятием линейной функции, применение ее на линейных пространствах и знание ключевых свойств линейных отображений.
- знание определения базиса линейного пространства, умение доказывать теорему о существовании базиса и понимание понятия размерности пространства, а также представлять геометрически пространства больших размерностей и применение теоремы о продолжении базиса.
- освоение понятия ядра и образа линейного отображения, доказательство соответствующей теоремы, изучение процедуры изменения координат при смене базиса и понимание структуры матрицы перехода.
- освоение операций умножения, транспонирования и нахождения обратной матрицы, изучение свойств и способов вычисления определителей, а также приобретение навыков работы с комплексными числами.
- умение находить матрицу линейного отображения и оператора, изменять её при смене базиса, определять собственные значения и векторы, а также строить собственный базис.
- усвоение концепции жордановой нормальной формы матрицы, понимание сжимающих отображений, доказательство теорем о неподвижной точке и Фробениуса-Перрона, а также применение полученных знаний на практике.
- овладение теорией билинейных форм, понимание структуры их матриц и поведения при изменении базиса, знакомство с ортогональными матрицами и основами теории квадратичных форм.
- приобретение навыков работы с квадратичными формами, включая выделение полного квадрата, определение сигнатуры, применение критерия Сильвестра, выполнение ортогональных преобразований и освоение процесса ортогонализации.
- овладение методом наименьших квадратов, выводом соответствующих уравнений, пониманием особенностей и ограничений метода, а также применением его для приближенного решения систем линейных уравнений.
Содержание учебной дисциплины
- Понятие линейного пространства
- Линейные функции на линейном пространстве
- Базис линейного пространства
- Системы линейных уравнений
- Факты о ядре и образе линейного отображения, преобразования координат
- Операции над матрицами
- Собственные векторы и значения линейного оператора
- Жорданова нормальная форма
- Билинейные формы и операции с ними
- Квадратичные формы и процесс ортогонализации
- Метод наименьших квадратов
Элементы контроля
- ТестТестирование проводится в онлайн- курсе "Линейная алгебра" на платформе SmartLms и направлено на закрепление полученных знаний и выявление пробелов. Оценивание проводится системой в автоматическом режиме.
- Экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Лекции по математике. Т.3: Линейная алгебра, Босс, В., 2005
- Линейная алгебра : учеб. пособие, Козак, А. В., 2001
- Линейная алгебра : учеб. пособие, Яковлев, И. В., 2010
- Линейная алгебра : учебник, Ильин, В. А., 2006
Рекомендуемая дополнительная литература
- Введение в алгебру. Ч.2: Линейная алгебра, Кострикин, А. И., 2012
- Вычислительная линейная алгебра : теория и приложения, Деммель, Дж., 2001
- Линейная алгебра в вопросах и задачах : учеб. пособие для вузов, Бутузов, В. Ф., 2002