Бакалавриат
2026/2027
Математический анализ
Статус:
Курс обязательный (Математика)
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1-й курс, 1-4 модуль
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
10
Контактные часы:
214
Программа дисциплины
Аннотация
Курс посвящен основам классического математического анализа (вещественные числа, множества вещественных чисел, последовательности и их пределы, функции вещественного переменного, пределы, производные, графики, формула Тейлора, функции нескольких переменных, дифференциалы отображений, числовые, степенные и функциональные ряды, интегралы и приложения интегрального исчисления, теорема о неявной функции и ее приложения, условный экстремум функций многих переменных).
Цель освоения дисциплины
- Изучение теоретических основ математического анализа, необходимых для дальнейшего продвижения во всех аналитических дисциплинах в процессе обучения на факультете.
- Приобретение необходимых навыков для решения вычислительных задач.
Планируемые результаты обучения
- Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знакомство с понятием компактности. Компактность множеств на числовой прямой.
- Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знание глобальных свойств функций, непрерывных на отрезке. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
- Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знание свойств монотонных функций и непрерывных на отрезке. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
- Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение использовать признаки сходимости положительных рядов.
- Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение находить пределы последовательностей.
- Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение находить простейшие пределы функций.
Содержание учебной дисциплины
- 1.семестр 1.Теория вещественных чисел, эквивалентные определения: пополнение Q, сечения Дедекинда, полное упорядоченное поле
- 1 семестр 2. Пределы последовательностей, суммы рядов. Признаки сходимости и абсолютная сходимость. Число е как ряд из обратных факториалов и его иррациональность.
- 1 семестр 3. Непрерывность, открытые и замкнутые множества, начала топологии. Пределы непрерывных функций
- 1 семестр 4. Больше о топологии: связность и компактность, классические следствия для анализа.
- 1 семестр 5. Дифференциальное исчисление. Элементарные функции, замечательные пределы. Выпуклость. Формула Тейлора.
- 1 семестр 6. Интеграл Римана
- 2 семестр 1. Интеграл Римана: продолжение. Неопределенные интегралы для стандартных классов элементарных функций (рациональные функции, тригонометрические функции и т.п.). Формула Тейлора с интегральным остаточным членом.
- 2 семестр 2. Метрические и нормированные пространства. Эквивалентность норм на конечномерном пространстве. Пространство непрерывных функций. *Теорема Стоуна-Вейерштрасса
- 2 семестр 3. Функциональные ряды и их признаки сходимости. Несобственные интегралы. Некоторые специальные функции (гамма и бета). *Формула Стирлинга
- 2 семестр 4. Функции многих переменных, дифференциал. Сжимающие отображения, теоремы о неявной и обратной функции.
- 2 семестр 5. Формула Тейлора для многих переменных. Экстремумы функций многих переменных, метод множителей Лагранжа.
- 2 семестр 6. Длины, площади, объемы, немного о теории меры. Кратные интегралы, интегралы по кривым и поверхностям. *Дифференциальные формы.
- 2 семестр 7*. Основы функционального анализа: гильбертовы и банаховы пространства, l^p, c_0, двойственные простран
Промежуточная аттестация
- 2026/2027 2nd moduleКонтрольные работы, листки, коллоквиум, экзамен. Формула: 0.2*КР+0.2*Л+0.3*К+0.3*Э Для получения максимальной оценки также нужно сдавать дополнительные вопросы/задачи на коллоквиуме/экзамене.
- 2026/2027 4th moduleКонтрольные работы, листки, коллоквиум, экзамен. Формула: 0.2*КР+0.2*Л+0.3*К+0.3*Э Для получения максимальной оценки также нужно сдавать дополнительные вопросы/задачи на коллоквиуме/экзамене.