Теория случайных процессов

Бакалавриат 2026/2027

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика)

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 3-й курс, 1-3 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Гришунина Юлия Борисовна, Манита Лариса Анатольевна, Шнурков Петр Викторович

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 96

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 01.03.04. «Прикладная математика», изучающих дисциплину «Теория случайных процессов».Программа разработана в соответствии с:•Образовательным стандартом Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» по направлению подготовки 01.03.04 «Прикладная математика», квалификация: бакалавр;•Образовательной программой «Прикладная математика» направления 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра;•Рабочим учебным планом университета по направлению 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра, утвержденным в 2020 г.В соответствии с рабочим учебным планом (РУП) по направлению 01.03.04 «Прикладная математика» дисциплина «Теория случайных процессов» относится к группе дисциплин базовой части профессионального цикла: Б. Пр. Б.Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:•Математический анализ•Линейная алгебра и аналитическая геометрия •Дифференциальные уравнения •Функциональный анализ•Теория вероятностей и математическая статистикаДля освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:•Теория пределов;•Дифференциальное и интегральное исчисление; Теория матриц;•Решение систем линейных уравнений;•Случайные величины, их характеристики, системы случайных величин; •Основы теории меры и теории интеграла (интегралы Лебега и Лебега-Стилтьеса)•Основные предельные теоремы теории вероятностей (основные формы законы больших чисел и центральной предельной теоремы)Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:•Теория массового обслуживания •Надежность сложных систем•Теория игр и исследование операций •Теория управления•Имитационное моделирование

Цель освоения дисциплины

Получение фундаментальных знаний об общих свойствах случайных процессов, а также об основных свойствах отдельных классов случайных процессов (цепях Маркова, марковских процессах с непрерывным временем и дискретным множеством состояний, процессах восстановления, процессах с независимыми приращениями (пуассоновским и винеровским процессами), диффузными марковскими процессами).
Создание у студентов устойчивого представления о многообразии изучаемых стохастических моделей и возможностях их использования при анализе реальных систем и процессов в экономике, технике и естественных науках.

Планируемые результаты обучения

Знает основные понятия, определения, формулировки теорем и другие фундаментальные результаты в теории случайных процессов.
Знает общие свойства и особенности различных классов случайных процессов, а также важнейшие характеристики данных процессов.
Умеет устанавливать связи между различными результатами и свойствами случайных процессов и других стохастических моделей.
Умеет осмысливать математические обоснования результатов теории и разбираться в доказательствах теорем, приведенных в курсе.
Умеет проводить логические рассуждения и аналитические выводы, аналогичные тем, которые используются при изучении данной дисциплины.
Умеет использовать учебную и научно-учебную литературу для уточнения и осмысления результатов, приведенных в ходе изучения данной дисциплины.
Умеет использовать полученные знания для изучения новых разделов теории случайных процессов, а также других матем-их дисциплин, в которых исследуются проблемы применения стохастических моделей в различных областях экономики и техники (стохастическая финансовая матем-ка, матем-ая теория страхования, теория немарковских систем массового обслуживания, матем-ая теория эффективности и надежности, стохастическая теория дифференциальных систем, стохастическая теория физико-химических процессов и т.д.)
Имеет навыки работы с учебной литературой, нахождения и самостоятельного изучения необходимых материалов по данному курсу.
Имеет навыки самостоятельного изучения материалов лекций.
Имеет навыки самостоятельного анализа и решения задач, предлагаемых на практических занятиях и контрольных работах.

Содержание учебной дисциплины

Понятие случайного процесса. Случайный процесс как математический объект.
Цепи Маркова. Общие свойства и основные характеристики.
Цепи Маркова с дискретным множеством состояний. Стационарные эволюции. Предельные и стационарные распределения.
Марковские процессы с непрерывным временем и дискретным множеством состояний. Основные вероятностные характеристики и свойства.
Марковские процессы с непрерывным временем и дискретным множеством состояний. Классические модели (процесс гибели и размножения, пуассоновский процесс).
Процессы восстановления. Основы теории. Предельные теоремы.
Процессы с независимыми приращениями. Винеровский процесс.

Элементы контроля

Аудиторная работа 1
Данная оценка определяется активностью студента, проявляемой на семинарских занятиях, уровнем выполнения текущих домашних заданий, не входящих в число специальных плановых домашних заданий, а также способностью и готовностью студента выполнять задания повышенной трудности (по желанию).
Контрольная работа 1
Контрольная работа 2
Домашнее задание 1
Домашнее задание 2
Контрольная работа 3
Контрольная работа 4
Экзамен
1. Итоговый экзамен включает все разделы данной дисциплины. 2. Экзамен носит теоретический характер. 3. Экзамен проводится в письменной форме очно на компьютерах без прокторинга. 4. Итоговый экзамен является блокирующим элементом контроля. При получении неудовлетворительной оценки на экзамене результирующая оценка также становится неудовлетворительной и приравнивается к экзаменационной оценке. 5. Освобождение от экзамена не допускается.
Аудиторная работа 2
Данная оценка определяется активностью студента, проявляемой на семинарских занятиях, уровнем выполнения текущих домашних заданий, не входящих в число специальных плановых домашних заданий, а также способностью и готовностью студента выполнять задания повышенной трудности (по желанию).

Промежуточная аттестация

2026/2027 2nd module
В первом периоде студенты выполняют три оцениваемые плановые самостоятельные работы: контрольная (аудиторная) работа №1, обозначение оценки — Ок.р.1; контрольная (аудиторная) работа №2, обозначение оценки — Ок.р.2; домашнее плановое задание №1, обозначение оценки — Од.з.1. Оценки за все указанные работы ставит преподаватель. ведущий семинарские занятия. Все оценки выставляются по десятибалльной системе. Кроме этого, преподаватель, ведущий семинарские занятия, выставляет отдельную оценку за текущую аудиторную работу каждого студента Оауд.1. Данная оценка определяется активностью студента, проявляемой на семинарских занятиях, уровнем выполнения текущих домашних заданий, не входящих в число специальных плановых домашних заданий, а также способностью и готовностью студента выполнять задания повышенной трудности (по желанию). Формирование итоговой оценки за 1 период Специальный промежуточный экзамен по итогам первого периода обучения не проводится. Итоговая оценка за указанный период определяется по формуле: Оитог.1 = [0.2]* Оауд.1 + [0.25]* Ок.р.1 + [0.25]*Ок.р.2 + [0.3]* Од.з.1
2026/2027 3rd module
Во втором периоде студенты выполняют 3 оцениваемые плановые самостоятельные работы: контрольная (аудиторная) работа №3, обозначение оценки — Ок.р.3; контрольная (аудиторная) работа №4, обозначение оценки — Ок.р.4; домашнее плановое задание №2, обозначение оценки — Од.з.2. Оценки за все указанные работы ставит преподаватель. ведущий семинарские занятия. Все оценки выставляются по десятибалльной системе. Кроме этого, преподаватель, ведущий семинарские занятия, выставляет отдельную оценку за аудиторную работу каждого студента Оауд. 2 . Как и соответствующая оценка первого периода, данная оценка определяется активностью студента, проявляемой на семинарских занятиях, уровнем выполнения текущих домашних заданий, не входящих в число специальных плановых домашних заданий, а также способностью и готовностью студента выполнять задания повышенной трудности (по желанию). По итогам перечисленных плановых элементов контроля определяется так называемая итоговая промежуточная оценка во втором периоде Оитог.2 = [0.2]*Оауд.2 + [0.25]*Ок.р.3 + [0.25]* Ок.р.4 + [0.3]* Од.з.2 Округление полученной оценки производится согласно определённым выше правилам. В дальнейшие формулы данная оценка входит в округлённой форме. Отметим, что во втором периоде обучения (3 модуле) подводятся общие итоги работы студента по изучаемой дисциплине. В связи с этим результирующая оценка по дисциплине формируется на основе итоговых оценок работы студента в первом и втором периодах, а также оценки, полученной за специальный завершающий элемент текущего контроля- экзамен по дисциплине.

Список литературы

Авторы

Шнурков Петр Викторович
Дорджиева Роксана Викторовна

Программа дисциплины