Алгебра

Бакалавриат 2026/2027

Статус: Курс обязательный (Компьютерные науки и анализ данных)

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 56

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Данный курс является плавным введением в теорию алгебраических структур, включая теорию групп, колец, полей с приложениями к криптографии, теории кодирования и символьных вычислений. Изученный материал может быть использован в теории формальных языков, теории игр, информационной безопасности. В рамках данного курса считается, что студенты уже прошли курс линейной алгебры, математического анализа и дискретную математику первого курса.

Цель освоения дисциплины

• Составить представление об основных алгебраических структурах и примерах их применения.
• Поупражняться в вычислениях в группах, кольцах и полях.
• Научиться работать с кодами исправляющими ошибки.
• Познакомиться с базовыми результатами теории делимости в коммутативных колец, включая кольца многочленов.
• Освоить криптографические алгоритмы на основе подхода Диффи-Хеллмана.

Планируемые результаты обучения

• Применить теорему о гомоморфизме для описания фактор группы.
• Проверить является ли данная группа циклической.
• Проверить является ли данная подгруппа нормальной.
• Проверить является ли множество с операцией группой.
• Вычислить порядок элемента в данной группе.
• Построить факторгруппу для заданной группы и нормальной подгруппы.
• Привести пример группы.
• Привести пример нормальной группы.
• Дать определение группы.
• Дать определение гомоморфизма и изоморфизма.
• Сформулировать Китайскую теорему об остатках.
• Применить алгоритм шифровки и дешифровки для передачи сообщения.
• Описать механизм обмена ключами по Диффи-Хеллману.
• Описать алгоритм шифрования и дешифрования на основе проблемы дискретного логарифмирования.
• Привести пример циклической группы подходящей для шифрования.
• Описать операции на кольце полиномиальных остатков.
• Описать алгоритм деления многочленов с одной переменной.
• Сформулировать критерий для кольца полиномиальных остатков, когда оно является полем.
• Привести пример кольца.
• Привести пример идеала.
• Привести пример неприводимого многочлена.
• Дать определение кольца.
• Дать определение идеала.
• Сформулировать теорему о гомоморфизме для колец.
• Явно вычислить структуру конечного расширения поля.
• Описать псевдослучайный генератор Галуа.
• Найти характеристику заданного поля.
• Привести пример поля.
• Привести пример конечного поля.
• Дать определение характеристики поля.
• Дать определение поля.
• Определить расстояние Хэмминга.
• Дать определение линейного кода.
• Дать определение проверочной матрицы кода.
• Установить по проверочной матрице кода количество исправляемых ошибок.
• Построить код БЧХ для заданного количества ошибок.
• Дать определение факториального кольца.
• Дать определение кольца главных идеалов (КГИ).
• Дать определение евклидова кольца.
• Построить примеры факториальных колец, КГИ и евклидовых колец.
• Применять алгоритм деления с остатком в евклидовых кольцах.

Содержание учебной дисциплины

Кольца и идеалы
Криптография
Кольца многочленов и расширение полей
Коды с исправлением ошибок
Теория делимости в коммутативных кольцах

Элементы контроля

Контрольная
Письменная контрольная проверяющая умение решать задачи по темам курса.
Домашние задания
После каждого семинара студентам выдается письменное домашнее задание на неделю для самостоятельного выполнения. Выполненное домашнее задание выборочно проверяется ассистентом.
Экзамен
Устный экзамен, проверяющий знание теории по курсу.
Коллоквиум
Устный опрос, проверяющий теоретические знания по темам курса.

Промежуточная аттестация

2026/2027 2nd module
0.4 * Экзамен + 0.1 * Домашние задания + 0.25 * Контрольная + 0.25 * Коллоквиум

Список литературы

Авторы

Ахмедова Гюнай Интигам кызы
Царев Андрей Валерьевич

Программа дисциплины