Бакалавриат 2026/2027

Алгебра

ID 1132768

Статус: Курс обязательный (Компьютерные науки и анализ данных)

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Медведь Никита Юрьевич, Царев Андрей Валерьевич

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 56

Программа дисциплины

Аннотация

Данный курс является плавным введением в теорию алгебраических структур, включая теорию групп, колец, полей с приложениями к криптографии, теории кодирования и символьных вычислений. Изученный материал может быть использован в теории формальных языков, теории игр, информационной безопасности. В рамках данного курса считается, что студенты уже прошли курс линейной алгебры, математического анализа и дискретную математику первого курса.

Цель освоения дисциплины

• • Составить представление об основных алгебраических структурах и примерах их применения.
• • Поупражняться в вычислениях в группах, кольцах и полях.
• • Научиться работать с кодами исправляющими ошибки.
• • Познакомиться с базовыми результатами теории делимости в коммутативных колец, включая кольца многочленов.
• • Освоить криптографические алгоритмы на основе подхода Диффи-Хеллмана.

Планируемые результаты обучения

• • Применить теорему о гомоморфизме для описания фактор группы.
• • Проверить является ли данная группа циклической.
• • Проверить является ли данная подгруппа нормальной.
• • Проверить является ли множество с операцией группой.
• • Вычислить порядок элемента в данной группе.
• • Построить факторгруппу для заданной группы и нормальной подгруппы.
• • Привести пример группы.
• • Привести пример нормальной группы.
• • Дать определение группы.
• • Дать определение гомоморфизма и изоморфизма.
• • Сформулировать Китайскую теорему об остатках.
• • Применить алгоритм шифровки и дешифровки для передачи сообщения.
• • Описать механизм обмена ключами по Диффи-Хеллману.
• • Описать алгоритм шифрования и дешифрования на основе проблемы дискретного логарифмирования.
• • Привести пример циклической группы подходящей для шифрования.
• • Описать операции на кольце полиномиальных остатков.
• • Описать алгоритм деления многочленов с одной переменной.
• • Сформулировать критерий для кольца полиномиальных остатков, когда оно является полем.
• • Привести пример кольца.
• • Привести пример идеала.
• • Привести пример неприводимого многочлена.
• • Дать определение кольца.
• • Дать определение идеала.
• • Сформулировать теорему о гомоморфизме для колец.
• • Явно вычислить структуру конечного расширения поля.
• • Описать псевдослучайный генератор Галуа.
• • Найти характеристику заданного поля.
• • Привести пример поля.
• • Привести пример конечного поля.
• • Дать определение характеристики поля.
• • Дать определение поля.
• • Определить расстояние Хэмминга.
• • Дать определение линейного кода.
• • Дать определение проверочной матрицы кода.
• • Установить по проверочной матрице кода количество исправляемых ошибок.
• • Построить код БЧХ для заданного количества ошибок.
• • Дать определение факториального кольца.
• • Дать определение кольца главных идеалов (КГИ).
• • Дать определение евклидова кольца.
• • Построить примеры факториальных колец, КГИ и евклидовых колец.
• • Применять алгоритм деления с остатком в евклидовых кольцах.

Содержание учебной дисциплины

• Кольца и идеалы
• Криптография
• Кольца многочленов и расширение полей
• Коды с исправлением ошибок
• Теория делимости в коммутативных кольцах

Элементы контроля

• Контрольная
  Письменная контрольная проверяющая умение решать задачи по темам курса.
• Домашние задания
  После каждого семинара студентам выдается письменное домашнее задание на неделю для самостоятельного выполнения. Выполненное домашнее задание выборочно проверяется ассистентом.
• Экзамен
  Устный экзамен, проверяющий знание теории по курсу.
• Коллоквиум
  Устный опрос, проверяющий теоретические знания по темам курса.

Промежуточная аттестация

• 2026/2027 2nd module
  0.4 * Экзамен + 0.1 * Домашние задания + 0.25 * Контрольная + 0.25 * Коллоквиум

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Shen, A., Romashchenko, A., & Yu. Rumyantsev, A. (2017). Notes on coding theory ; Заметки по теории кодирования. France, Europe: HAL CCSD. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsbas&AN=edsbas.629AC8BC
• Введение в алгебру: В 3-х ч. Ч. I: Основы алгебры - Кострикин А. И. - Московский центр непрерывного математического образования - 978-5-4439-3264-4 - 2020 - русский - https://e.lanbook.com/book/146749 - ЛАНЬ - 146749
• Заметки по теории кодирования, Ромащенко, А. Е., 2017
• Курс алгебры - Винберг Э. Б. - Московский центр непрерывного математического образования - 978-5-4439-2183-9 - 2021 - русский - https://e.lanbook.com/book/267500 - ЛАНЬ - 267500
• Сборник задач по алгебре, Аржанцев, И. В., 2009

Рекомендуемая дополнительная литература

• Сборник задач по алгебре - Артамонов В.А., Бахтурин Ю.А., Винберг Э.Б., Голод Е.С. - Издательство "Физматлит" - 978-5-9221-0726-6 - 2007 - русский - https://e.lanbook.com/book/2743 - ЛАНЬ - 2743
• Экономическая теория: Учебник для вузов - Попов А. И., Артамонов В. С., Иванов С. А. - Санкт-Петербург: Питер - 978-5-49807-641-6 - 2010 - русский - https://ibooks.ru/product/335092 - iBOOKS - 335092

Авторы

• Ахмедова Гюнай Интигам кызы
• Царев Андрей Валерьевич