Бакалавриат 2026/2027

Теория вероятностей и математическая статистика

ID 1159406

Статус: Курс обязательный (Информационная безопасность)

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 2-й курс, 1-3 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Ивченко Александр Владимирович, Киндеркнехт Яна Анатольевна, Фимина Ксения Игоревна

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 122

Программа дисциплины

Аннотация

Данный курс входит в классическое математическое образование и преподается студентам второго курса в течение трех модулей. В первой части курса (модули 1-2) рассматриваются классические темы теории вероятностей, начиная с аксиоматики и заканчивая предельными теоремами. Вторая часть курса (модуль 3) посвящена основам математической статистики и включает в себя методы построения точечных и интервальных оценок, проверки гипотез. В рамках курса обсуждаются все основные теоретические конструкции, а также все относительно компактные доказательства; приводятся иллюстрирующие примеры, разбираются некоторые практические задачи, реализующиеся на языке программирования Python.

Цель освоения дисциплины

• Целью курса является знакомство студентов с аппаратом теории вероятностей и математической статистики и развитие навыков решения практических задач в рамках теоретико-вероятностного и статистического подхода. Дисциплина является базисом для ряда будущих и текущих дисциплин, таких, как "Моделирование систем и процессов", "Машинное обучение" и др.

Планируемые результаты обучения

• Знание и умение применять аксиомы теории вероятностей для решения задач, включая теоретико-множественный подход, правила комбинаторики.
• Знание основных дискретных и непрерывных распределений, их свойств и их типичные примеры применения.
• Понимание и оперирование на практике концепциями условной вероятности и независимости событий, формулой полной вероятности и формулой Байеса.
• Понимание сути случайной величины, знание способов ее задания; умение рассчитывать основные характеристики случайных величин, симулировать случайные величины.
• Умение оперировать с многомерными случайными величинами, включая маржинализацию распределений, вычисление условных распределений и моментов; понимание и оперирование на практике концепцией независимости случайных величин; умение рассчитывать корреляцию между парами случайных величин, находить распределение суммы двух независимых величин.
• Понимание различных концепций сходимости случайных величин.
• Понимание сути и умение использовать на практике закон больших чисел и центральную предельную теорему.
• Знание основных понятий и задач математической статистики.
• Понимание общих подходов к построению точечных оценок параметров распределения, умение строить такие оценки методом максимального правдоподобия; понимание концепций оптимальности, эффективности и консистентности оценок.
• Знание общих принципов тестирования гипотез и умение их применять для вывода о параметрах распределения или его вида, понимание концепции равномерно наиболее мощного критерия.
• Понимание общих подходов к построению интервальных оценок и умение пользоваться ими на практике.
• Умение пользоваться на практике моделью одномерной линейной регрессии, включая оценку параметров методом наименьших квадратов и построения соответствующих доверительных интервалов.

Содержание учебной дисциплины

• Аксиомы теории вероятностей
• Основные дискретные распределения
• Распределения на вещественной прямой
• Независимость событий и условные вероятности
• Случайные величины и их свойства
• Некоторые характеристики случайных величин
• Математическое ожидание (среднее значение), дисперсия, моменты случайных величин
• Нормальное и родственные распределения
• Различные типы сходимости случайных величин
• Закон больших чисел и центральная предельная теорема
• Предмет и методы статистики
• Основы точечного оценивания
• Оценивание на основе функции правдоподобия
• Достаточные статистики
• Информация Фишера и нижняя граница Крамера — Рао
• Асимптотическое поведение оценок
• Тестирование гипотез: введение
• Равномерно наиболее мощные критерии / тесты
• Интервальные оценки
• Одномерная линейная регрессия

Элементы контроля

• Контрольная работа
• Активность работы на семинарах
• Экзамен 1
• Активность работы на семинарах
• Коллоквиум
• Защита домашнего задания
• Экзамен 2

Промежуточная аттестация

• 2026/2027 1st module
  0.3 * Контрольная работа + 0.6 * Экзамен 1 + 0.1 * Активность работы на семинарах
• 2026/2027 3rd module
  0.3 * Коллоквиум + 0.1 * Активность работы на семинарах + 0.2 * Защита домашнего задания + 0.4 * Экзамен 2

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Introductory Probability - CCBY4_056 - Charles Grinstead & J. Laurie Snell - 2022 - Open Educational Resources: libretexts.org - https://ibooks.ru/products/390842 - 390842 - iBOOKS
• Вероятность - 1: Элементарная теория вероятностей. Математическое основание. Предельные теоремы. Кн. 1: ., Ширяев, А. Н., 2011
• Вероятность -. Кн.1: Вероятность - 1 : элементарная теория вероятностей. Математические основания. Предельные теоремы, Ширяев, А. Н., 2007
• Вероятность. Кн. 1: Вероятность - 1: Элементарная теория вероятностей. Математические основания. Предельные теоремы, Ширяев, А. Н., 2004
• Гмурман, В. Е.  Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для среднего профессионального образования / В. Е. Гмурман. — 12-е изд. — Москва : Издательство Юрайт, 2024. — 479 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-00859-3. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/536720 (дата обращения: 02.07.2026).
• Задачи и упражнения по теории вероятностей : учеб. пособие для вузов, Вентцель, Е. С., 2003
• Кремер, Н. Ш.  Математическая статистика : учебник и практикум для среднего профессионального образования / Н. Ш. Кремер. — 5-е изд. — Москва : Издательство Юрайт, 2024. — 259 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-01662-8. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/538957 (дата обращения: 02.07.2026).
• Кремер, Н. Ш.  Математическая статистика : учебник и практикум для среднего профессионального образования / Н. Ш. Кремер. — 5-е изд. — Москва : Издательство Юрайт, 2026. — 259 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-01662-8. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/585336 (дата обращения: 02.07.2026).
• Курс теории вероятностей : Учебник, Гнеденко, Б. В., 2001
• Математическая статистика : учеб. пособие для вузов, Ивченко, Г. И., 1992
• Математическая статистика : учебник и практикум для академического бакалавриата, Кремер, Н. Ш., 2017
• Математическая статистика, Ивченко, Г. И., 1990
• Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие для бакалавриата, Гмурман, В. Е., 2013
• Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие для вузов, Гмурман, В. Е., 2005
• Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие для вузов, Гмурман, В. Е., 2006
• Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие для вузов, Гмурман, В. Е., 2010
• Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие для прикладного бакалавриата, Гмурман, В. Е., 2018
• Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие, Гмурман, В. Е., 1999
• Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие, Гмурман, В. Е., 2001
• Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике, учебное пособие, 6-е изд., доп., 405 с., Гмурман, В. Е., 2002
• Сборник задач по математической статистике : учеб. пособие для втузов, Ивченко, Г. И., 1989
• Теория вероятностей : учебник для вузов, Вентцель, Е. С., 2005
• Теория вероятностей и ее инженерные приложения : учеб. пособие для втузов, Вентцель, Е. С., 2000
• Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов, Гмурман, В. Е., 2003
• Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов, Гмурман, В. Е., 2006
• Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов, Гмурман, В. Е., 2011
• Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов, Кремер, Н. Ш., 2002
• Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов, Кремер, Н. Ш., 2004
• Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов, Кремер, Н. Ш., 2006

Рекомендуемая дополнительная литература

• Modern mathematical statistics with applications, Devore, J. L., 2007
• Курс теории вероятностей : учебник для вузов, Гнеденко, Б. В., 2011
• Теория вероятностей : учебник для вузов, Вентцель, Е. С., 2002

Авторы

• Воронцова Татьяна Дмитриевна
• Князева Ирина Васильевна
• Киндеркнехт Яна Анатольевна