Бакалавриат 2026/2027

Матричные разложения и вычисления: методы и приложения

Статус: Курс по выбору (Экономика и статистика)

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Филимошина Екатерина Романовна, Широков Дмитрий Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 56

Программа дисциплины

Аннотация

Данный курс представляет собой углубленное введение в современные методы линейной алгебры и матричного анализа, ориентированное на приложения в экономике и анализе данных. В рамках курса слушатели изучат теоретические основы ключевых матричных разложений и аппроксимаций (SVD, QR, LU, Холецкого, Шура, скелетное, CUR и другие) и освоят алгоритмы их вычисления. Практическая часть курса направлена на решение широкого круга прикладных экономических задач, включая анализ межотраслевого баланса, снижение размерности данных, восстановление пропущенных значений, решение больших систем линейных уравнений, а также применение матричных разложений в нейронных сетях. Для освоения дициплины необходимы отличные/хорошие знания линейной алгебры и базовые знания Python. В рамках курса предусмотрены контрольная работа, мини-контрольные работы на семинарах, практические домашние задания и экзамен.

Цель освоения дисциплины

• изучить теоретические основы ключевых матричных разложений и аппроксимаций (SVD, QR, LU, Холецкого, Шура, скелетное, CUR и другие)
• познакомиться с основными приложениями матричных разложений в задачах экономики и компьютерных наук

Планируемые результаты обучения

• формулировать определения основных алгебро-геометрических понятий и приводить к ним примеры
• формулировать условия существования и единственности спектрального разложения, разложения Шура; пользоваться алгоритмами их нахождения; применять в задачах экономики и компьютерных наук
• формулировать условия существования и единственности скелетного, сингулярного и полярного разложений; пользоваться алгоритмами их нахождения и теоремой Эккарта - Янга; применять в задачах экономики и компьютерных наук
• формулировать условия существования и единственности QR-разложения; пользоваться алгоритмами его нахождения; применять для быстрого вычисления SVD и в задачах экономики и компьютерных наук
• формулировать условия существования и единственности LU-, LDL- разложений и разложения Холецкого; пользоваться алгоритмами их нахождения; применять в задачах экономики и компьютерных наук
• пользоваться алгоритмом Левинсона для решения системы с матрицей Теплица; уметь решать системы уравнений с циркулянтной матрицей; вычислять определители и собственные значения для матриц специального вида
• вычислять псевдообратную матрицу; применять методы OLS и ALS
• решать прямую и двойственную задачи линейного программирования
• формулировать теорему Перрона - Фробениуса; исследовать матрицу на продуктивность; формулировать условия существования и единственности неотрицательного матричного разложения

Содержание учебной дисциплины

• Некоторые вспомогательные понятия
• Спектральное разложение и разложение Шура
• Скелетное, сингулярное и полярное разложения. Метод главных компонент
• QR-разложение и QR-алгоритм
• LU-, LDL-разложения и разложение Холецкого
• Структурированные матрицы
• Псевдообратные матрицы и метод наименьших квадратов
• Основы линейного программирования
• Неотрицательные матрицы

Элементы контроля

• контрольная работа
  Письменная контрольная работа на 80 минут по материалам первого модуля
• мини-контрольные работы
  Письменная работа на 10-15 минут в начале семинара по материалу предыдущих занятий
• домашние задания
  Практические домашние задания в виде Python-ноутбуков с кодом, направленные на практическое применение матричных разложений и другого теоретического материала
• экзамен
  Экзамен, представляющий из себя письменную работу на 120 минут по материалам всего курса

Промежуточная аттестация

• 2026/2027 2nd module
  0.1 * мини-контрольные работы + 0.3 * контрольная работа + 0.1 * домашние задания + 0.3 * экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Тыртышников, Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра : учебное пособие / Е. Е. Тыртышников. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 480 с. — ISBN 978-5-9221-0778-5. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/2352 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Рекомендуемая дополнительная литература

• Fuad Aleskerov, Hasan Ersel, & Dmitri Piontkovski. (2011). Linear Algebra for Economists (Vol. 2011). Springer.

Авторы

• Широков Дмитрий Сергеевич
• Филимошина Екатерина Романовна