2026/2027
Диофантовы приближения
ID 1248387
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Илларионов Андрей Анатольевич
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
"Диофантовы приближения --- это раздел теории чисел, изучающий приближения вещественных чисел рациональными.
Самый простой вопрос: насколько точно вещественное может быть приближено рациональным с ограниченным знаменателем?
Ответ дан еще в 18 веке с помощью дробей Фарея и цепных дробей. В рамках курса мы изучим непрерывные дроби, как с алгебраической, так и геометрической точек зрения, поймем как они связаны с наилучшими рациональными приближениями
и квадратичными иррациональностями. Рассмотрим их приложения в теории диофантовых уравнений и криптографии. Докажем трансцендентность числа $e$ и (возможно) знаменитую теорему Рота
об алгебраических числах. Также мы коснемся задач о многомерных рациональных приближениях, которые тесно связаны с геометрией чисел. Наконец, последняя часть курса посвящена теории равномерного распределения последовательностей,
ее связи с непрерывными дробями и приложениям."
Цель освоения дисциплины
- В результате освоения дисциплины студент должен знать основные свойства непрерывных дробей, одномерных и многомерных диофантовых приближений, теории решеток и теории равномерного распределения последовательностей; уметь использовать принцип переноса и доказывать (не)равномерность распределения числовых последовательностей; иметь представление о роли диофантовых приближений в других областях математики.
Планируемые результаты обучения
- Знать основные свойства цепных дробей и одномерных диофантовых приближений
- Знать основные свойства многомерных диофантовых приближений. Уметь применять теорему Минковского и принцип переноса
- Знать основные свойства решеток, их связь с диофантовыми приближениями и криптографией
- Уметь доказывать (не)равномерность распределения числовых последовательностей
Содержание учебной дисциплины
- Одномерные диофантовы приближения и цепные дроби.
- Многомерные диофантовы приближения.
- Решетки.
- Равномерное распределение последовательностей.
Промежуточная аттестация
- 2026/2027 2nd module0.6E+0.05H, где E – оценка за экзамен, H – процент выполненных домашних заданий
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Введение в геометрию чисел, Касселс, Дж. В. С., 1965
Рекомендуемая дополнительная литература
- Диофантовы приближения и трансцендентные числа - Шидловский А.Б. - Издательство "Физматлит" - 978-5-9221-0720-4 - 2007 - русский - https://e.lanbook.com/book/59437 - ЛАНЬ - 59437