2026/2027
Уравнения с частными производными
ID 1248434
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
"Развитие теории уравнений с частными производными (УРЧП) можно условно разбить на три периода,
когда теория использовала
-- классический анализ,
-- функциональный анализ,
-- обобщенные функции.
Все три периода будут проиллюстрированы на уравнениях второго порядка.
Кроме того, будет дано введение в теорию пространств Соболева и связанную с ней теорию обобщенных функций, которая составила эпоху в развитии анализа прошлого века. Если позволит время, будут прочтены две обзорные лекции: о проблеме турбулентности и о теореме Хермандера о фундаментальных решениях."
Цель освоения дисциплины
- Познакомиться с типичными примерами уравнений и методами их решений
- Обсудить пространства Соболева и теорию полугрупп операторов.
Планируемые результаты обучения
- Познакомились с типичными примерами уравнений и методами их решений, но и обсудили пространства Соболева и теорию полугрупп операторов.
- Познакомились с типичными примерами уравнений и методами их решений, но и обсудили пространства Соболева и теорию полугрупп операторов.
Содержание учебной дисциплины
- Уравнения с частными производными в физических, геометрических и вероятностных задачах.
- Волновое уравнение. Формулы Даламбера, Пуассона и Кирхгофа. Распространение волн.
- Обобщенные функции и обобщенные производные. Преобразование Фурье. Фундаментальное решение оператора Лапласа, оператора теплопроводности, оператора Даламбера.
- Пространства Соболева. Неравенства Соболева и теоремы вложения.
- Теоремы Рисса и Лакса–Мильграма, априорные оценки и продолжение по параметру. Разрешимость краевых задач для эллиптических и параболических уравнений.
- Принцип максимума для классических и соболевских решений. Альтернатива Фредгольма.
- Качественные свойства решений эллиптических и параболических уравнений: теоремы о среднем, неравенство Харнака, гёльдеровость соболевских решений, поведение решений на бесконечности.
- Неограниченные операторы. Задача Штурма–Лиувилля. Расширение по Фридрихсу оператора Лапласа. Теорема Гильберта–Шмидта и обоснование метода Фурье.
- Полугруппы. Теорема Хилле–Иосиды. Свойства тепловой полугруппы и полугруппы Орнштейна–Уленбека.
- Нелинейные уравнения. Теоремы о неподвижной точке. Монотонные операторы. Вариационные методы. Разрушение решений
Элементы контроля
- домашние задания
- контрольная работа
- коллоквиум
- посещаемость
- экзамен с теоретическими вопросами и задачами
Промежуточная аттестация
- 2026/2027 2nd moduleПо 15% за: домашние задания (сдаются раз в две недели), 1 контрольную, 1 коллоквиум, посещаемость; 40% письменный экзамен с задачами и теоретическими вопросами.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Петровский, И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными : учебник / И. Г. Петровский. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 404 с. — ISBN 978-5-9221-1090-7. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/59551 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
Рекомендуемая дополнительная литература
- Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. — 3-е изд. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 528 с. — ISBN 978-5-9221-1259-8. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/2749 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.