2026/2027
Теория кобордизмов
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Язык:
английский
Кредиты:
6
Контактные часы:
60
Course Syllabus
Abstract
"Standard homology carries information about ""independent cycles"" in the considering space X. This is usually formalized by considering linear combinations of continuous maps of simplexes into space. Corresponding to cycles are linear combinations that, in fact, define a continuous map into X of a complex ""without boundary"" glued from simplexes. Two such cycles are homologous if their union serves as the boundary of some similar complex glued from simplexes of one dimension higher.
Historically, however, the idea of ""cycles"" belonged to A. Poincaré, who considered them to be smooth closed manifolds. Then two cycles are homologous if they serve as the boundary of a smooth manifold of one greater dimension. The subsequent transition to simplices was driven by technical reasons, primarily because ""homology"" defined in terms of smooth manifolds turned out to be much more complex than those we are accustomed to today. Even the such ""homology groups"" of a point are far from trivial. However, it turns out that in this way it is possible to define a genuine (extraordinary) theory of (co)homology, called (co)bordism theory. Emerging in the mid-20th century, this theory is still developing rapidly, providing beautiful and fruitful connections between homotopy topology and manifold theory.
This course will cover the fundamentals of cobordism theory, after which we will focus on unoriented cobordism theory (the simplest one) and complex cobordism theory (one of the most important and well-studied). We will prove such classical results as structure theorems on coefficient rings and connections with characteristic numbers, the universality theorem for the formal group law of geometric cobordism, and Landweber's exact functor theorem."
Learning Objectives
- Получить представление о теории неориентированных и комплексных кобордизмов, их гомотопических и геометрических совйствах, вычислении коэффициентов с помощью спектральной последовательности Адамса и связи с формальными группами.
Expected Learning Outcomes
- Иучить основы стабильной теории гомотопий и понять связь между спектрами и теориями (ко)гомологий
- Доказать теорему Понтрягина-Тома и разобрать примеры
- Доказать теорему о представимости группоида формальных групп алгеброидом Хопфа комплексных кобордизмов, доказать теорему точности Ландвебера (методом Хопкинса через стэк формальных групп)
- Уметь работать с ориентациями векторных расслоений в теориях когомологий. Построить спектральную последовательность Атья-Хирцебруха и с её помощью вычислить бордизмы классифицирующих пространств.
- Построить спектральную последователь типа Адамса в теории когомологий, вычислить с помощью стандартной спектральной последовательности Адамса коэффициенты теорий неориентированных и комплексных бордизмов.
Course Contents
- (Co)homology theories and spectra
- Pontryagin-Thom theorem
- Atiyah-Hirzebruch spectral sequence
- Cohomology operations and Adams spectral sequence
- Complex cobordism and formal group laws
Interim Assessment
- 2026/2027 2nd module0.3 * Листочки с задачами + 0.45 * Экзамен + 0.25 * Листочки с задачами
Bibliography
Recommended Core Bibliography
- Алгебраическая топология - гомотопии и гомологии, Свитцер, Р. М., 1985
- Заметки по теории кобордизмов, Стонг, Р., 1973
Recommended Additional Bibliography
- Адамс, Д. Ф. Стабильные гомотопии и обобщенные гомологии : учебник / Д. Ф. Адамс , под редакцией Д. Каледина , перевод с английского Д. Каледина [и др.]. — Москва : МЦНМО, 2013. — 432 с. — ISBN 978-5-4439-2058-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/56386 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.