2026/2027

Введение в обратные задачи

ID 1249587

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Сивкин Владимир Николаевич

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 36

Программа дисциплины

Аннотация

Обратные задачи — это раздел математики, в котором требуется определить постановку задачи (обычно уравнения в частных производных) свойствам его решений. Такие задачи широко возникают в физических приложениях, медицине, техническом контроле. В данном курсе мы познакомимся с общими методами решения обратных задач, а также рассмотрим задачу обращения преобразования Радона, и задачу обращения преобразования Фурье по бесфазовым данным.

Цель освоения дисциплины

• Формирование у студентов знаний о постановках и методах решения обратных задач.

Планируемые результаты обучения

• Проверяет постановку задачи на корректность. Отличает корректные и некорректные задачи.
• Описывает методы регуляризации обратных задач. Использует различные методы регуляризации для решения задач.

Содержание учебной дисциплины

• Прямые и обратные задачи. Корректность по Адамару.
• Методы регуляризации обратных задач
• Введение в томографию
• Обобщенные функции и преобразование Фурье
• Преобразование Радона и проекционная теорема.
• Альтернативные методы восстановления.
• Образ лучевого преобразования
• Однофотонная эмиссионная томография. Позитронная эмиссионная томография
• Параксиальное приближение
• Постановка обратной задачи рассеяния для уравнения Шредингера
• Бесфазовая обратная задача рассеяния и связь с преобразованием Фурье
• Задача Штурма-Лиувилля

Элементы контроля

• Пятиминутка
  Вопросы по содержанию текущих лекций
• Экзамен
• Контрольная работа

Промежуточная аттестация

• 2026/2027 4th module
  Оценка выставляется по формуле: (Э > 3)*min(0.2*Л + 0.3*КР + 0.6*Э, 10), где Л - это накопленная оценка за работу на лекциях, КР - это оценка за контрольную работу, Э - это оценка за экзамен. Для положительной оценки необходима оценка за экзамен не ниже 4 баллов.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Введение в обратные задачи геофизики - Муравина О. М., Глазнев В. Н. - Воронежский государственный университет - - - 2021 - русский - https://e.lanbook.com/book/455102 - ЛАНЬ - 455102
• Коэффициентные обратные задачи для параболических уравнений и их приложения - Данилаев П. Г. - Казанский национальный исследовательский технический университет имени А. Н. Туполева - 978-5-7579-2467-0 - 2020 - русский - https://e.lanbook.com/book/193490 - ЛАНЬ - 193490
• Обратные волновые задачи акустической томографии. Ч. 1: Обратные задачи излучения в акустике, Буров, В. А., 2021
• Прямые и обратные задачи восстановления изображений, спектроскопии и томографии с MatLab - Сизиков В. С. - Издательство "Лань" - 978-5-8114-2754-3 - 2022 - русский - https://e.lanbook.com/book/210080 - ЛАНЬ - 210080
• Численные методы, учебное пособие, 4-е изд., 636 с., Бахвалов, Н. С., Жидков, Н. П., Кобельков, Г. М., 2006

Рекомендуемая дополнительная литература

• Обратные волновые задачи акустической томографии. Ч. 2: Обратные задачи акустического рассеяния, Буров, В. А., 2021

Авторы

• Сивкин Владимир Николаевич