2026/2027
Симметрии, представления и когерентные состояния в квантовых задачах
Статус:
Маго-лего
Кто читает:
Департамент прикладной математики
Охват аудитории:
для своего кампуса
Преподаватели:
Новикова Елена Михайловна
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
Курс «Симметрии, представления и когерентные состояния в квантовых задачах» знакомит студентов с квантовыми и пуассоновыми алгебрами симметрий, в том числе, нелиевского типа, возникающими в широко известных физических моделях, таких, как резонансный гармонический осциллятор, атом водорода в отсутствие внешних полей, атом водорода в однородном магнитном поле, резонансная ловушка Пеннинга. Для квантовых алгебр изучается конструкция неприводимых представлений в гильбертовых пространствах голоморфных функций и соответствующие когерентные состояния, а также вычисляются функции перекрытия. Для пуассоновых алгебр проводится анализ симплектических листов. На модельных примерах демонстрируется метод решения спектральных задач для квантовых гамильтонианов с помощью когерентного преобразования, т.е. интегрального преобразования, ядром которого является семейство когерентных состояний.
Цель освоения дисциплины
- Ознакомление студентов с алгебрами симметрий, в том числе, нелиевского типа, возникающими в широко известных физических моделях, методами исследования этих алгебр (построением неприводимых представлений и когерентных состояний для квантовых алгебр; анализом симплектических листов соответствующих пуассоновых алгебр), методом решения спектральных задач с помощью когерентного преобразования (т.е. интегрального преобразования, ядром которого является семейство когерентных состояний).
Планируемые результаты обучения
- Владеет навыками вычисления коммутаторов дифференциальных операторов и простейшими методами поиска симметрий.
- Знает наиболее известные интегрируемые системы и соответствующие алгебры симметрий.
- Знает схему метода когерентного преобразования.
- Умеет разыскивать операторы Казимира в алгебрах со структурой "рождение-уничтожение".
- Умеет строить неприводимые представления и когерентные состояния алгебр со структурой "рождение-уничтожение".
Содержание учебной дисциплины
- Алгебры симметрий
- Пуассонова структура и неприводимые представления динамической алгебры
- Когерентное преобразование
Элементы контроля
- АктивностьПосещение занятий, выполнение текущих учебных заданий.
- Домашнее заданиеОписание алгебры двух- или трехчастотного резонанса, возникающего в идеальной ловушке Пеннинга.
- Итоговая работа по курсуДля заданной алгебры с нелинейными коммутационными соотношениями со структурой рождение-уничтожение требуется найти операторы Казимира, построить неприводимые представления, воспроизводящие ядра, когерентные состояния и исследовать вопрос о существовании воспроизводящей меры.
- Дополнительное заданиеДля неприводимого представления алгебры из итоговой работы написать другую реализацию и построить когерентные состояния, а также когерентное преобразование, сплетающие две найденные реализации.
Промежуточная аттестация
- 2026/2027 2nd module0.1 * Дополнительное задание + 0.1 * Активность + 0.7 * Итоговая работа по курсу + 0.1 * Домашнее задание
