Бакалавриат 2026/2027

Теория групп

ID 1133687

Статус: Курс обязательный (Физика)

Кто читает: Департамент физики

Где читается: Школа информатики, физики и технологий

Когда читается: 3-й курс, 2-4 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Постушков Сергей Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 92

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина направлена на изучение фундаментальных методов теории групп и симметрий. При освоении дисциплины используются знания и умения, приобретенные при изучении курсов «Механика», «Линейная алгебра» и «Дифференциальная геометрия и топология».

Цель освоения дисциплины

• Освоение основных методов изучения групп, групп Ли и алгебр Ли.
• Формирование практических навыков решения задач, связанных с группами, группами Ли, алгебрами Ли и их представлениями.
• Использование результатов теории групп в квантовой механике, физике конденсированных сред и других разделах физики.

Планируемые результаты обучения

• Вычисляет коэффициенты Клебша-Гордана.
• Использует знания о неприводимых комплексных конечномерных представлениях групп SU(2) и SO(3), спине и спинорах в квантовой механике.
• Использует результаты теории представлений для вывода правил отбора.
• Описывает стандартные реализации неприводимых комплексных конечномерных представлений группы SU(2) в пространстве симметричных тензоров и в пространстве однородных полиномов.
• Вычисляет первые две группы когомологий группы или алгебры Ли
• Показывает как связаны категория групп Ли и категория алгебр Ли.
• Показывает, как связаны категория представлений группы Ли и категория представлений её алгебры Ли. Определяет, для каких групп Ли эти категории эквивалентны.
• Определяет, является ли конечномерная алгебра Ли полупростой или нет.
• Описывает все неприводимые конечномерные представления алгебры Ли 𝔰𝔩(2, ℂ).
• Вычисляет характеры неприводимых комплексных представлений группы Ли SU(2) и доказывает их ортогональность, используя меру Хаара.
• Вычисляет характер представления конечной группы.
• Определяет, является ли конечномерное представление конечной группы над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 неприводимым или нет.
• Строит таблицу характеров для конечной группы небольшого порядка и описывает её свойства.
• Находит количество неприводимых конечномерных представлений конечной группы небольшого порядка над алгебраически замкнутым полем характеристики 0.

Содержание учебной дисциплины

• Представления конечных групп
• Представления групп Ли
• Элементы теории представлений алгебр Ли
• Проективные представления
• Представления SU(2), SO(3), SL(2, ℂ) и SO⁺(1, 3)

Элементы контроля

• Письменный экзамен
  Письменный экзамен проводится в форме ответов на вопросы экзаменационного билета. Экзаменационный билет содержит два вопроса из перечня вопросов к экзамену. На подготовку ответа выделяется 2,5 часа.
• Контрольная работа
  Контрольная работа проводится в письменной форме и состоит из 5 заданий. За каждое правильное задание студент получает 2 балла.
• Письменный экзамен
  Письменный экзамен проводится в форме ответов на вопросы экзаменационного билета. Экзаменационный билет содержит два вопроса из перечня вопросов к экзамену. На подготовку ответа выделяется 2,5 часа.

Промежуточная аттестация

• 2026/2027 3rd module
  0.6 * Письменный экзамен + 0.2 * Контрольная работа
• 2026/2027 4th module
  0.6 * Письменный экзамен + 0.4 * Контрольная работа

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Representation theory : a first course, Fulton, W., 2004
• Алгебры Ли и группы Ли, Серр, Ж.-П., 1969
• Введение в алгебру, учебник : в 3 ч., Ч. III, 271 с., Кострикин, А. И., 2009
• Введение в теорию алгебр Ли и их представлений, Хамфрис, Дж., 2003
• Компактные группы Ли и их представления, Желобенко, Д. П., 2007
• Представление группы вращений и группы Лоренца, Гельфанд, И. М., 1958

Рекомендуемая дополнительная литература

• Cohomology of finite groups, Adem, A., 2004
• Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, Арнольд, В. И., 2014
• Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Хелгасон, С., 2005
• Когомологии топологических групп и алгебр Ли, Гишарде, А., 1984
• Спинорный анализ, Румер, Ю. Б., 1936

Авторы

• Постушков Сергей Сергеевич