Асимптотический анализ и его приложения

Магистратура 2019/2020

Статус: Курс обязательный (Системы управления и обработки информации в инженерии)

Направление: 01.04.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 2, 3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Эминов Павел Алексеевич

Прогр. обучения: Системы управления и обработки информации в инженерии

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 50

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу математических дисциплин (вариативная часть). Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: Линейная алгебра; Дифференциальные уравнения; Теория функций комплексного переменного; Уравнения математической физики. Для освоения дисциплины студенты должны знать основные понятия и методы указанных дисциплин. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: Принципы построения математических моделей; Математическое моделирование; Современные методы теории управления.

Цель освоения дисциплины

изучение асимптотических методов решения задач прикладной математики и квантовой теории поля.

Планируемые результаты обучения

Знать: вывод основных формул асимптотического анализа рядов и интегралов; общую схему применения квазиклассического метода ВКБ для нахождения асимптотики решений задач математической физики и квантовой теории поля; вывод уравнений стационарной и нестационарной теории возмущений на основе метода функций Грина и метода интегралов по траекториям.
Уметь применять методы асимптотического анализа к решению задач математической физики, математического моделирования, квантовой теории поля и статистической физики;
Иметь навыки (приобрести опыт): исследования асимптотического поведения решений уравнений математической физики и квантовой теории поля; вычисления асимптотики интегралов, сумм и рядов; применения метода функций Грина и метода интегралов по траекториям для построения рядов теории возмущений.

Содержание учебной дисциплины

Асимптотический анализ рядов и интегралов
Метод Лапласа асимптотической оценки интегралов от функций действительной переменной. Метод перевала асимптотических разложений контурных интегралов от функций комплексной переменной. Метод стационарной фазы. Формула Эйлера-Маклорена для интегральной оценки суммы. Формула Пуассона суммирования и асимптотического анализа рядов. Метод Ватсона суммирования и асимптотического анализа рядов.
Метод функций Грина и теория возмущений
Функции Грина стационарных линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Классификация функций Грина нестационарных уравнений в частных производных. Интегральные уравнения и теория возмущений для функций Грина линейных эрмитовых операторов в абстрактном гильбертовом пространстве и переход в координатное представление. Ряд теории возмущений для собственных функций непрерывного спектра линейного эрмитового оператора в координатном представлении. Уравнение Липмана-Швингера. Решение основных уравнений математической физики методом функций Грина. Интегрирование обобщенного уравнения Даламбера. Метод функций Грина в квантовой теории поля при конечной температуре. Вычисление термодинамического потенциала идеального электрон-позитронного газа методом температурных функций Грина.
Метод Вентцеля-Крамерса - Бриллюена в задачах квантовой механики и математической физики.
Метод ВКБ решения стационарного уравнения Шредингера в потенциальном поле в квазиклассическом приближении. Квантование потенциальной ямы в квазиклассическом приближении. Асимптотическое представление функции Лагерра через функцию Макдональда. Асимптотическое представление функции Бесселя высокого порядка через функцию Эйри, когда аргумент функции Бесселя приближается к порядковому номеру. Квазиклассическое решение уравнения Дирака в постоянном магнитном поле.
Теория возмущений в квантовой механике и статистической физике на основе метода интегралов по траекториям.
1. Амплитуда вероятности перехода в квантовой механике и интеграл по траекториям. Математические методы вычисления интегралов по траекториям. Интеграл по траекториям и шредингеровское описание квантовой механики. Уравнение Шредингера для ядра. Выражение интеграла по траекториям через решения стационарного уравнения Шредингера. 2. Ряд теории возмущений и интегральное уравнение для ядра. Интегральное уравнение для волновой функции. Задачи рассеяния. Возмущения, зависящие от времени и амплитуды переходов. Золотое правило Ферми. Аналогия между квантовой механикой и квантовой статистической физикой: аналитическое продолжение спектральной функции на область комплексных значений времени и статистическая сумма. Вычисление статистической суммы и намагниченности одномерной решетки Изинга.

Элементы контроля

Контрольная работа
Контрольная работа проводится по всем темам курса.
Домашнее задание 1
Первое домашнее задание включает задачи по темам:1) асимптотический анализ рядов и интегралов;2) метод функций Грина и теория возмущений.
Экзамен
Форма экзамена - устная, в билете 2 вопроса и одна задача.
Домашнее задание 2
Второе домашнее задание включает задачи по темам: 1) метод Вентцеля - Крамерса – Бриллюена в задачах квантовой механики и математической физики; 2) теория возмущений в квантовой механике и статистической физике на основе метода интегралов по траекториям.
Контрольно-измерительные материалы
Контрольно-измерительные материалы

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.15 * Домашнее задание 1 + 0.15 * Домашнее задание 2 + 0.2 * Контрольная работа + 0.5 * Экзамен

Программа дисциплины