2019/2020
Алгебра и анализ II
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Департамент математики
Где читается:
Санкт-Петербургская школа экономики и менеджмента
Когда читается:
1-4 модуль
Преподаватели:
Гладкая Анна Владимировна
Язык:
русский
Кредиты:
3
Контактные часы:
116
Программа дисциплины
Аннотация
Курс посвящён функциональному анализу в объёмах от основ метрических пространств до начал вариационного исчисления. Лекции и семинарские занятия нацелены на развитие у студента интуиции бесконечномерных пространств, а также – навыков обращения с негладкими функциями вещественной переменной. Цели и задачи учебных занятий Повторение и углубление знаний по традиционно трудным разделам элементарной математики. Обсуждение принципов математического мышления, различных методов решения задач и доказательства утверждений. Знакомство с некоторыми вопросами теории функций, теории множеств и теории приближений. Основной целью курса является формирование навыков построения грамотного математического рассуждения от формулировки задачи, разбиения ее на подзадачи и поиска необходимых для решения методов и подходов до формулировки и интерпретации полученных результатов. Наибольшее внимание в курсе уделяется самостоятельному поиску решений нестандартных задач на основании полученных теоретических знаний и дальнейшему обсуждению примененных методов.
Цель освоения дисциплины
- формирование навыков построения грамотного математического рассуждения от формулировки задачи, разбиения ее на подзадачи и поиска необходимых для решения методов и подходов до формулировки и интерпретации полученных результатов
Планируемые результаты обучения
- Владеет аппаратом меры Лебега, знает основные определения и теоремы, уверенно решает задачи на применение этой теории.
- Владеет теорией метрических пространств, уверенно решает задачи на её применение.
- Владеет понятием линейного нормированного пространства, умеет сравнивать нормы, использует сравнение норм для выяснения полноты пространств
- Умеет исследовать функционалы на непрерывность, понимает роль нормы в ответе на вопрос о непрерывности функционала.
- Исследует линейные операторы на непрерывность и компактность.
- Использует теоретический аппарат функционального анализа для решения вариационных задач.
- Знает понятия множества и операций над ними, мощности множества, внутренних, внешних и граничных точек множества, теоремы об объединении и пересечении открытых и замкнутых множеств
- Знает понятие целой и дробной части числа, уравнений и неравенств с ними, интерполяционного многочлена Лагранжа и теорему Эйлера
- Знает свойства бинарных отношений на множестве и разбиение на классы эквивалентности
- Демонстрирует знание понятия левого и правого отображения, решает уравнения, связанные с производной и первообразной
- Знает разностный аналог формулы Лейбница, дискретную теорему Лиувилля, многочлены Фибоначчи, производящие функции и вычисление некоторых сумм
- Демонстрирует знание понятий рядов Фурье, полиномов Бернштейна, Чебышева, сплайн-финкций
Содержание учебной дисциплины
- Логика и элементы теории множеств.Высказывания, кванторы и предикаты. Отрицание высказываний. Понятие множества и операции над множествами. Отображение одного множества в другое: область определения, область значений, график отображения. Образ элемента или подмножества области определения, прообраз элемента или множества из области значений. Композиция отображений. Мощность множества. Конечные и счетные множества. Счетность множества рациональных чисел. Мощность подмножества счетного множества. Внутренние, внешние и граничные точки множества. Внутренность, внешность и граница множества. Изолированные и предельные точки множества. Открытые и замкнутые множества. Теоремы об объединении и пересечении открытых и замкнутых множеств. Замыкание множества. Дополнения к открытым и замкнутым множествам.
- Свойства элементов и множеств на числовой прямойЦелая и дробная часть числа. Уравнения и неравенства с ними. Рациональные и иррациональные числа. Простые и составные числа. Алгоритм Евклида. Непрерывные дроби. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Совершенные числа. Теорема Эйлера. Системы счисления.
- Бинарные отношенияСвойства бинарных отношений на множестве. Отношение эквивалентности. Разбиение на классы эквивалентности. Отношение порядка.
- Последовательности и рядыОбратное отображение: левое и правое обратное отображение. Функциональные уравнения. Уравнения, связанные с производной и первообразной.
- Последовательности и рядыКонечные разности. Разностный аналог формулы Лейбница. Преобразование Абеля. Дискретная теорема Лиувилля. Рекуррентные последовательности. Многочлены Фибоначчи, Люка. Производящие функции. Многочлен Гаусса. Вычисление некоторых сумм.
- Элементы теории аппроксимацииРяды Фурье. Полиномы Бернштейна, Чебышева. Сплайн-функции.
- Мера и интеграл ЛебегаАбсолютно сходящиеся ряды. Сигма-алгебры. Порождающие множества, борелевская сигма-алгебра. Меры. Теоремы существования и единственности. Мера Лебега. Произведение мер. Измеримые функции. Интеграл Лебега. Теорема Фубини. Теоремы о перестановке пределов. Гладкая и полиномиальная аппроксимация.
- Метрические пространстваОпределения и примеры метрических пространств. Последовательности Коши, полнота. Сепарабельность. Теорема Бэра о категории. Принцип сжимающих отображений. Равномерная сходимость, лемма Арцела —Асколи
- Линейные нормированные пространстваНорма в линейном пространстве. Сравнение норм. Полнота. Основные примеры банаховых пространств. Гильбертово пространство.
- Функционалы в линейных пространствахСопряжённое пространство. Непрерывность функционала. Сходимость последовательности функционалов. Теорема Хана – Банаха, теорема Банаха – Алаоглу.
- Линейные операторыНепрерывность линейного отображения. Сходимость операторов. Компактные операторы. Компактность вложений. Обратимость, элементы спектральной теории.
- Элементы вариационного исчисленияОсновная лемма вариационного исчисления. Уравнения Эйлера – Лагранжа. Линейно-квадратичные функционалы. Гамма-сходимость.
Элементы контроля
- Общие домашние задания
- Индивидуальное домашнее задание
- ЭкзаменЭкзамен проводится в письменной форме. Длительность экзамена – 80 минут. Экзамен проводится на платформе https://mail2.hse.ru. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие камеры (допустимо использование камеры мобильного телефона), подключение к сети «Интернет». Для участия в экзамене студент обязан: проверить электронную почту в момент начала экзамена. (Преподаватель рассылает экзаменационные задания по электронной почте.) Во время экзамена студентам запрещено: пользоваться сторонними источниками информации, помощью иных людей. Студент выполняет экзаменационные задания в письменной форме, фотографирует решения с помощью любой доступной ему камеры и отправляет преподавателю по электронной почте. Студент должен следить за тем, чтобы сфотографированные им решения были читаемы. (Рекомендуется использовать камеру мобильного телефона или цифрового фотоаппарата; студент должен заранее проверить работоспособность этой камеры.) Процедура пересдачи: осенью всё изменится.
- Обязательные домашние задания
- Необязательные задачи повышенного уровня
- Аудиторное тестирование
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (2 модуль)Результирующая оценка составляется из баллов, полученных за выполнение обязательных домашних заданий (A), необязательных задач повышенного уровня (B), регулярных аудиторных тестирований (C) по следующей формуле: 10*(A+B+C)/(A+С).
- Промежуточная аттестация (4 модуль)На каждом семинарском занятии выдаётся письменное общее домашнее задание к следующему семинару. Задачи из этих заданий стоят определённое число баллов. Пусть N – суммарное число баллов за выданные домашние задания, а студент набрал за домашние задания M баллов. По результатам выполнения этих заданий студент получает в конце курса индивидуальное задание, также выполняемое дома. индивидуальное домашнее задание, которое тем больше, чем больше 1-M/N; индивидуальное задание перекрывает те темы, которые не были решены при накоплении балла M. Сложность этих задач варьируется на усмотрение преподавателя. В случае возникновения трудностей с выполнением этих заданий студент имеет право консультироваться с преподавателем. Предварительная «накопленная» оценка – это 10*M/N, округлённая по арифметическим правилам (числа M и N определены выше). Если студент(ка) решил(а) всё индивидуальное задание, то его/её «текущая» оценка становится равной десяти. В противном случае текущая оценка остаётся равной накопленной, то есть 10*M/N, эта величина округляется арифметически. Итоговая оценка вычисляется по линейной формуле О_итог = 0.71*О_тек + 0.29*О_экз и округляется по арифметическим правилам, здесь О_тек – текущая оценка, принцип формирования которой описан выше, а О_экз – оценка за экзамен.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. - Элементы теории функций и функционального анализа - Издательство "Физматлит" - 2009 - 572с. - ISBN: 978-5-9221-0266-7 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2206
- Кудрявцев Л. Д. - КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В 3 Т. ТОМ 1 6-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 703с. - ISBN: 978-5-9916-3701-5 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/kurs-matematicheskogo-analiza-v-3-t-tom-1-425369
Рекомендуемая дополнительная литература
- Бугров Я. С., Никольский С. М. - ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3 Т. Т.2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 7-е изд. Учебник для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 281с. - ISBN: 978-5-534-03009-9 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/vysshaya-matematika-v-3-t-t-2-elementy-lineynoy-algebry-i-analiticheskoy-geometrii-431960