Аспирантура
2019/2020
Фрактальная динамика сложных систем
Статус:
Курс обязательный
Направление:
03.06.01. Физика и астрономия
Кто читает:
Факультет физики
Когда читается:
1-й курс, 1 семестр
Формат изучения:
без онлайн-курса
Преподаватели:
Иудин Дмитрий Игоревич
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
30
Программа дисциплины
Аннотация
Предлагаемый курс лекций является своеобразным введением в мир фрактальной динамики сложных систем. Мы начнём с определения сложных систем, рассмотрим антиномию «сложность и простота», поговорим о структурной и динамической сложности. Рассмотрим простейшие примеры: часы и генератор Ван-дер-Поля. Попробуем построить сложные системы своими руками, поиграем в кубики и познакомимся с фракталами. Руководствуясь принципом «от простого к сложному», мы начнем с изложения базовых понятий и рассмотрим простейшие примеры как регулярных, так и стохастических фракталов. Мы узнаем, что в природе широко распространены системы, морфология и поведение которых демонстрируют самоподобие при изменении пространственно-временных интервалов или, как говорят, масштабную инвариантность – один из фундаментальных видов симметрий физического мира, играющий формообразующую роль во Вселенной. В англоязычной литературе это явление называют скейлингом от английского scaling масштабирование, изменение масштаба. Пространственно- временной скейлинг является наиболее общим проявлением самоподобия, его демонстрируют сложные социальные, техногенные, геофизические и космические процессы и системы. Примерами могут служить история социальных потрясений и техногенных катастроф, лесные пожары и сейсмическая активность, вспышки на солнце и гамма активность звездных скоплений. Несмотря на широкое разнообразие физических контекстов, в которых разворачивается фрактальная динамика конкретных систем, существуют общие фундаментальные закономерности самоподобной динамики, предопределяющие независимость макроскопического поведения системы от мелкомасштабных нюансов взаимодействия локальных элементов. Поиск этих закономерностей и универсальных сценариев коллективного поведения сложных геофизических систем наряду с построением базовых моделей фрактальной динамики представляется чрезвычайно актуальной задачей. Мы начнём исследование универсальных сценариев динамики сложных систем. Для простых моделей найдём условия, при которых динамика обладает свойствами самоподобия. Покажем, что эффекты, связанные со структурными фазовыми переходами, в частности, с динамической перколяцией, предопределяют специфику отклика активной системы на внешнее воздействие и нетривиальный характер зависимости динамики от размеров системы. Мы взглянем серьёзно на роль случая. Поиграем в орлянку и понаблюдаем за блужданиями пьяного человека. Мы обсудим конструктивную роль хаоса и связь рассматриваемых явлений с эффектами динамической перколяции и эффектами генерации шумом кинетических фазовых переходов.
Цель освоения дисциплины
- Освоить математические методы и подходы теории фракталов для решения исследовательских задач
Планируемые результаты обучения
- Освоение математических методов и подходов теории фракталов для решения исследовательских задач
Содержание учебной дисциплины
- Регулярные фракталыСнежинка Кох, ковер Серпинского, губка Менгера, пыль Кантора. Размерность подобия. L-системы
- Фрактальные размерности Хаусдорфа и МинковскогоСравнение различных практических методов определения фрактальной размерности: емкостная, поточечная, корреляционная, информационная.
- Аттракторы системы итерированных аффинных отображенийПреобразование Хатчинсона. Метрика Хаусдорфа на множестве компактов. Методы построения аттракторов на компьютере — детерминированные и случайные
- МультифракталыСтранные аттракторы как мультифракталы.
- Броуновское движениеСтатистическое самоподобие. Компьютерное моделирование естественных ландшафтов
- Символическая динамика, хаотичность оператора обратного сдвига
- О фрактальном сжатии изображений
- Роль кибернетики в понимании общих принципов процессов самоорганизации
- Дискретная динамикаДетерминированный хаос. Хаотичность отображений на фракталах. Преобразования пекаря и подковы
- Получение хаоса с помощью удвоения периода, постоянная Фейгенбаума
- Комплексная динамикаОбласти притяжения итерационного метода Ньютона. Множества Жюлиа. Орбиты в множествах Жюлиа. Множества Мандельброта. Хаос и множества Жюлиа
- Странный аттрактор ЛоренцаМодели приводящие к уравнениям Лоренца: конвекция в замкнутом тороидальном сосуде, конвекция в плоском слое, водяное колесо. Теоретическое и численное исследование уравнений Лоренца. Фрактальная размерность странных аттракторов.
- Нелинейные эволюционные уравнения и солитоныНаблюдения Рассела. Основные свойства уравнения КдФ. Эффекты нелинейности и дисперсии. Одно и двухсолитонные решения. Об обратной задаче теории рассеяния.
- Принцип подчиненияПараметры порядка. Принцип подчинения параметру порядка
- Пространственные структурыОбобщенные уравнения ГинзбургаЛандау. Образование структур в конвекции Бенара
