• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2020/2021

Теория вероятностей и математическая статистика

Статус: Курс обязательный (Программная инженерия)
Направление: 09.03.04. Программная инженерия
Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для своего кампуса
Язык: русский
Кредиты: 5

Программа дисциплины

Аннотация

Изучение дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика базируется на следующих дисциплинах: математический анализ; геометрия и алгебра. Для освоения учебной дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин; навыками решения типовых задач этих дисциплин. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: статистические и эмпирические методы компьютинга; машинное обучение; анализ данных.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • сформировать теоретические знания в области теории вероятностей и математической статистики
  • обучить студентов применять основные модели и методы математической статистики для обработки реальных данных
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • знать основные понятия теории вероятностей (вероятность, случайное событие, случайная величина, числовые характеристики случайных величин и их свойства, случайный вектор и его характеристики, независимость и некоррелированность случайных величин)
  • знать основные законы распределения случайных величин
  • знать виды сходимости случайных величин
  • знать предельные теоремы теории вероятностей
  • знать основные понятия математической статистики (выборка, оценки параметров и их свойства, гистограмма, эмпирическая функция распределения)
  • знать основные методы оценивания параметров (метод моментов (ММ) и метод максимального правдоподобия (ММП))
  • знать алгоритм проверки статистических гипотез
  • знать методы построения доверительных интервалов параметров случайных величин
  • знать методы проверки независимости признаков, измеренных в различных шкалах
  • знать методы оценивания параметров в регрессионных моделях
  • знать критерии, позволяющие проверять адекватность регрессионной модели
  • уметь вычислять вероятность случайного события
  • уметь вычислять числовые характеристики случайной величины
  • уметь вычислять вероятность попадания случайной величины в заданную область
  • уметь использовать статистические критерии для проверки гипотез относительно наблюдаемых случайных данных
  • уметь оценивать неизвестные параметры статистической модели
  • владеть навыками решения типовых задач теории вероятностей и математической статистики
  • владеть основными определениями, методами и алгоритмами анализа данных, содержащих случайную составляющую
  • владеть стандартными инструментариями обработки статистической информации
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Основные понятия теории вероятностей. Случайные события
    Предмет теории вероятностей. Понятие пространства элементарных событий. Случайные события. Сигма-алгебра случайных событий. Классическое, статистическое, геометрическое и аксиоматическое определения вероятности случайного события. Основные свойства вероятности. Условные вероятности. Независимые случайные события. Формулы сложения и умножения вероятностей. Биномиальная схема испытаний. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
  • Случайные величины
    Определение случайной величины. Функция распределения и ее свойства. Дискретные случайные величины. Основные числовые характеристики дискретных случайных величин и их свойства. Распределение Бернулли. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины и ее свойства. Определение математического ожидания непрерывной случайной величины. Распределение Коши. Равномерное распределение. Экспоненциальное распределение. Нормальное распределение. Функция Лапласа и ее свойства. Определение квантили. Функциональное преобразование случайной величины.
  • Случайные векторы
    Функция распределения случайного вектора и ее свойства. Дискретные случайные векторы и способы их задания. Непрерывные случайные векторы. Свойства плотности распределения вероятности непрерывного случайного вектора. Определение независимых случайных величин. Числовые характеристики случайного вектора. Ковариация и ее свойства. Коэффициент корреляции и его свойства. Соотношение между некоррелированными и независимыми случайными величинами. Ковариационная и корреляционная матрицы. Условные законы распределения. Условные числовые характеристики. Формула полного математического ожидания.
  • Предельные теоремы теории вероятностей
    Неравенства Чебышева. Различные виды сходимости случайных последовательностей: сходимость по вероятности, сходимость в среднеквадратическом, сходимость почти наверное, слабая сходимость. Связь между указанными видами сходимости (без доказательства). Закон больших чисел в форме Чебышева и в форме Хинчина. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема (без доказательства). Теорема Муавра-Лапласа как частный случай центральной предельной теоремы. Неравенство Берри-Эссена (без доказательства).
  • Основные понятия математической статистики. Оценивание параметров
    Основные задачи математической статистики. Основные понятия выборочной теории: выборка, выборочное пространство; вариационный ряд, ранг элемента выборки, эмпирическая функция распределения; гистограмма; выборочные числовые характеристики, точечные оценки параметров. Свойства точечных оценок параметров: несмещённость, состоятельность, оптимальность в среднеквадратическом, эффективность по Рао-Крамеру. Неравенство Рао-Крамера (без доказательства). Основные методы нахождения точечных оценок параметров: метод максимального правдоподобия (ММП) и метод моментов (ММ). Свойства МП и ММ-оценок. Распределения, связанные с гауссовским (распределение хи-квадрат, распределение Стьюдента, распределение Фишера). Доверительное оценивание параметров. Центральная статистика. Построение доверительных интервалов параметров в одновыборочных и двувыборочных гауссовских моделях. Асимптотические доверительные интервалы.
  • Проверка статистических гипотез
    Простые и сложные статистические гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий. Функция мощности критерия. Состоятельные критерии. Алгоритм проверки статистической гипотезы. Лемма Неймана-Пирсона (без доказательства). Критерий Стьюдента и критерий Фишера для проверки параметрических гипотез в двухвыборочных гауссовских моделях. Критерий Колмогорова для проверки простой гипотезы о виде распределения случайной величины. Критерии согласия хи-квадрат для проверки простых и сложных гипотез о виде распределения случайной величины. Таблица сопряжённости признаков. Критерии проверки независимости двух случайных величин.
  • Регрессионный анализ
    Модель линейной регрессии. МНК-оценка параметров и её свойства. Критерии проверки адекватности гауссовской линейной регрессионной модели.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий О_ауд
  • неблокирующий О_ИДЗ
  • неблокирующий О_итоговый экзамен
  • неблокирующий О_КР
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.1 * О_ауд + 0.1 * О_ИДЗ + 0.5 * О_итоговый экзамен + 0.3 * О_КР
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Математическая статистика : учеб. пособие для вузов, Ивченко, Г. И., Медведев, Ю. И., 1992
  • Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами : учебник для вузов, Кибзун, А. И., Горяинова, Е. Р., 2013

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Анализ социологических данных с помощью пакета SPSS : учеб. пособие для вузов, Крыштановский, А. О., 2006
  • Кричевский М.Л. - Временные ряды в менеджменте. Том 1 - Русайнс - 2016 - 219с. - ISBN: 978-5-4365-0737-8 - Текст электронный // ЭБС BOOKRU - URL: https://book.ru/book/919940