Численные методы

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 3-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Каледин Максим Львович, Лобачев Виктор Анатольевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 80

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Численные методы — это набор техник и подходов для приближённого решения математических задач на компьютере. Очень редко задачи аппроксимации, интерполяции и дифференциальные уравнения решаются аналитически, но в большинстве случаев можно предложить надёжный численный метод, позволяющий получить решение с заданной точностью. Курс призван дать представление о современном состоянии вычислительной математики и её приложений в анализе данных и машинном обучении. Студенты научатся не только получать теоретические оценки сходимости и надёжности, но улучшать и строить свои методы для решения более конкретных задач на практике. В ходе курса предлагаются практические задания и проектная работа.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с приближёнными методами для решения задач интерполяции, аппроксимации, приближённого решения уравнений, возникающих при работе с данными.
Формирование у студентов практических навыков работы с данными и приближённого решения частых практических задач в области машинного обучения, оптимизации и имитационного моделирования.

Планируемые результаты обучения

Знать общие понятия теории численных методов, основные численные методы алгебры и математического анализа, используемые для решения прикладных задач в профессиональной деятельности
Знать основные принципы построения и применения эффективных численных алгоритмов с использованием современных информационно-коммуникационных технологий, включая специализированные математические программные системы
Уметь использовать современные вычислительные средства для обработки, визуализации и анализа результатов исследований из различных областей математики и ее приложений
Владеть современным инструментарием для решения прикладных задач в профессиональной деятельности

Содержание учебной дисциплины

Введение в численные методы, описание основных задач
Постановка практической задачи. Необходимость применения численных методов решения. Специфика машинных вычислений. Элементарная теория погрешностей.
Численное дифференцирование
Простейшие формулы численного дифференцирования. Оценка погрешности. Метод неопределенных коэффициентов вывода формул численного дифференцирования. Оптимальный шаг численного дифференцирования.
Интерполяция
Задача алгебраической интерполяции. Существование и единственность алгебраического интерполяционного полинома. Интерполяционный полином в форме Лагранжа и в форме Ньютона. Остаточный член интерполяции. Интерполяция по чебышёвским узлам. Оценка погрешности интерполяции для функций, заданных с ошибками. Кусочно-многочленная интерполяция. Интерполяция сплайнами.
Численное интегрирование
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса (прямоугольников, трапеций, Симпсона) и оценка их погрешности. Квадратурные формулы Гаусса.
Аппроксимация функций
Аппроксимация в Гильбертовом пространстве. Корректность и обусловленность задачи.
Решение систем линейных уравнений
Нормы в конечномерных пространствах. Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений. Прямые методы решения: метод Гаусса, метод Гаусса с выбором главного элемента, метод прогонки для систем специального вида. LU-разложение и его связь с методом Гаусса. Итерационные методы решения линейных систем. Метод простых итераций. Необходимое, достаточное условия сходимости метода простых итераций. Методы Якоби, Зейделя. Методы решения, основанные на минимизации функционалов. Переопределенные системы линейных алгебраических уравнений.
Решение систем нелинейных уравнений
Принцип сжимающих отображений. Метод простых итераций. Условие сходимости метода простых итераций. Метод Ньютона. Порядок сходимости и условия достижения заданной точности итерационных методов. Метод релаксации.
Решение задачи Коши и краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема о связи аппроксимации, устойчивости, сходимости. Численные методы решения задачи Коши для ОДУ. Методы Рунге–Кутты и Адамса решения ОДУ. Численное решение краевых задач для ОДУ. Методы решения линейных и нелинейных краевых задач.

Элементы контроля

Контрольная работа 1
Экзамен
Экзамен проводится дистанционно через Zoom. Технические требования: web-камера, микрофон, наушники / колонки, Zoom.
Домашние задания
Контрольная работа 2

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.28 * Домашние задания + 0.07 * Контрольная работа 1 + 0.35 * Контрольная работа 2 + 0.3 * Экзамен

Программа дисциплины