• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2019/2020

Уравнения с частными производными

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Дисциплина общефакультетского пула
Когда читается: 3, 4 модуль
Язык: русский
Кредиты: 6

Программа дисциплины

Аннотация

Огромное число физических, геометрических, вероятностных задач приводят к построению и исследованию решений уравнений с частными производными, причем важнейшую роль в таких исследованиях играют идеи и методы функционального анализа. В настоящем курсе мы не только познакомимся с типичными примерами уравнений и методами их решений, но и обсудим пространства Соболева и теорию полугрупп операторов. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА: Линейная алгебра и математический анализ
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Познакомиться с типичными примерами уравнений и методами их решений
  • Обсудить пространства Соболева и теорию полугрупп операторов.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Познакомились с типичными примерами уравнений и методами их решений, но и обсудили пространства Соболева и теорию полугрупп операторов.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Уравнения с частными производными в физических, геометрических и вероятностных задачах.
  • Волновое уравнение. Формулы Даламбера, Пуассона и Кирхгофа. Распространение волн.
  • Обобщенные функции и обобщенные производные. Преобразование Фурье. Фундаментальное решение оператора Лапласа, оператора теплопроводности, оператора Даламбера.
  • Пространства Соболева. Неравенства Соболева и теоремы вложения.
  • Теоремы Рисса и Лакса–Мильграма, априорные оценки и продолжение по параметру. Разрешимость краевых задач для эллиптических и параболических уравнений.
  • Принцип максимума для классических и соболевских решений. Альтернатива Фредгольма.
  • Качественные свойства решений эллиптических и параболических уравнений: теоремы о среднем, неравенство Харнака, гёльдеровость соболевских решений, поведение решений на бесконечности.
  • Неограниченные операторы. Задача Штурма–Лиувилля. Расширение по Фридрихсу оператора Лапласа. Теорема Гильберта–Шмидта и обоснование метода Фурье.
  • Полугруппы. Теорема Хилле–Иосиды. Свойства тепловой полугруппы и полугруппы Орнштейна–Уленбека.
  • Нелинейные уравнения. Теоремы о неподвижной точке. Монотонные операторы. Вариационные методы. Разрушение решений
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа 1
  • неблокирующий Контрольная работа 2
  • неблокирующий Коллоквиум
  • неблокирующий Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    Оценка за курс складывается из накопленной оценки (Н) и оценки за экзамен (Э) по формуле: 0.6(Н)+0.4(Э). Накопленная оценка складывается из оценок за две контрольные и коллоквиум по формуле: 0.2(кр1+кр2)+0.6(коллоквиум).
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Петровский И.Г. - Лекции об уравнениях с частными производными - Издательство "Физматлит" - 2009 - 404с. - ISBN: 978-5-9221-1090-7 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/59551

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Наймарк М.А. - Линейные дифференциальные операторы. - Издательство "Физматлит" - 2010 - 528с. - ISBN: 978-5-9221-1259-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2749