Случайные процессы в экономике

Аспирантура 2020/2021

Статус: Курс по выбору

Направление: 38.06.01. Экономика

Кто читает: Кафедра математической экономики (Нижний Новгород)

Когда читается: 2-й курс, 1 семестр

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Лапинова Светлана Александровна

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 38

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Цель курса состоит в том, чтобы подготовить аспирантов к использованию методов теории случайных процессов к моделированию экономических и финансовых процессов. В результате освоения дисциплины аспирант должен: знать изученные аспекты теории случайных процессов, уметь применять методы анализа и моделирования случайных процессов для решения экономических задач, иметь навыки построения, анализа и применения математических моделей случайных процессов для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений. Темы курса: Основные понятия теории случайных процессов, модели марковских случайных процессов, стохастические дифференциальные уравнения марковских процессов, модели ценообразования в дискретном времени, расчёт стоимости производных ценных бумаг в непрерывном случае.

Цель освоения дисциплины

Цель курса состоит в том, чтобы подготовить аспирантов к использованию методов теории случайных процессов к моделированию экономических и финансовых процессов.

Планируемые результаты обучения

Знает основные понятия случайных процессов. Умеет выбирать методы и средства решения задач.
Знает модели марковских случайных процессов. Умеет выбирать методики и средства решения задач
Способен анализировать стохастические дифференциальные уравнения марковских случайных процессов.
Умеет анализировать процессы и инструменты финансового рынка, способен выбирать варианты управленческих решений на основе критериев эффективности
Умеет определять стоимости производных ценных бумаг .

Содержание учебной дисциплины

Основные понятия теории случайных процессов
Случайная величина, распределение и математическое ожидание. Условное математическое ожидание и его свойства. Преобразования случайных величин. Замена вероятностной меры. Многомерные плотности вероятности. Основные свойства многомерных плотностей вероятности. Характеристическая функция случайного процесса. Моментные и кумулянтные функции. Производящая функция случайной последовательности. Гауссовские случайные процессы. Совокупность случайных процессов. Статистическая независимость случайных процессов. Взаимные корреляционные и ковариационные функции. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость случайного процесса Сходимость в смысле среднего квадратичного. Непрерывность случайного процесса в среднем квадратичном. Непрерывность случайного процесса по вероятности и с вероятностью единица. Дифференцируемость случайного процесса. Производная случайного процесса в среднем квадратичном. Интегрируемость случайного процесса. Строгая и слабая стационарность случайных процессов. Эргодичность случайных процессов. Спектральные характеристики случайных процессов.
Модели марковских случайных процессов
Понятие вероятности переходов. Однородный и стационарный марковские процессы. Уравнение Колмогорова-Чепмена. Взаимоотношения между условной плотностью вероятности и вероятностью переходов. Классификация марковских процессов: непрерывно-значные марковские процессы, дискретные марковские процессы, марковские последовательности, цепи Маркова. Кинетические уравнения для одномерной плотности вероятности и плотности вероятности переходов. Кинетический оператор и кинетические коэффициенты марковского процесса. Прямое уравнения Колмогорова. Непрерывные диффузионные марковские процессы. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова. Сопряженный кинетический оператор. Обратное уравнение Колмогорова.
Стохастические дифференциальные уравнения марковских процессов
Особенности приращения марковского процесса. Распределение суммы и разности случайных процессов. Плотность вероятности приращения. Плотность вероятности локального приращения. Статистическая независимость локальных приращений марковского процесса. Общий вид дифференциального уравнения для марковского процесса. Пример дифференциальных уравнений марковских процессов. Стохастические интегралы. Мартингалы. Лемма Ито. Кинетические коэффициенты марковского процесса в первом приближении. Значение высших кинетических коэффициентов. Примеры кинетических коэффициентов ряда марковских процессов. Броуновское движение, определение и свойства: совместное распределение приращений, свойства мартингальности и марковости. Распределение максимума броуновского движения. Геометрическое броуновское движение. Броуновский мост. Двусвязные и многосвязные марковские процессы. Многомерный марковский процесс. Дифференциальные уравнения двумерного и многомерного марковского процесса. Многомерное уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова. Многомерная формула Ито.
Модели ценообразования в дискретном времени
Однопериодная модель. Свободный от арбитража рынок ценных бумаг. Риск-нейтральные вероятностные меры. Полнота однопериодной модели. Теория арбитража на основе примитивных ценных бумаг Эрроу-Дебре. Свободные от арбитража векторы цен. Многопериодная модель. Самофинансирующиеся торговые стратегии. Основная теорема о ценах активов. Полнота многопериодной модели. Модели ценообразования финансовых активов. Вычисление безарбитражной стоимости классических опционов: европейского типа, азиатского типа, опциона типа «lookback». Марковские моменты и моменты остановки. Оптимальный момент исполнения опционов американского типа.
Расчёт стоимости производных ценных бумаг в непрерывном случае
Формула Блэка-Шоулза как предельный случай дискретной формулы Кокса-Росса-Рубинштейна. Риск-нейтральная вероятностная мера. Уравнение Блэка-Шоулса и его решение для европейских опционов call и put. Паритет европейских опционов колл и пут на акции, по которым выплачиваются и невыплачиваются дивиденды. Греческие параметры. Дельта- и гамма-хеджирование. Опционы на фьючерсы. Барьерные опционы. Опционы азиатского типа. Опционы типа «lookback».

Элементы контроля

Активность на семинарах
Контрольная работа
Экзамен
Активность на семинарах
Контрольная работа
Экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (I семестр)
0.4 * Активность на семинарах + 0.2 * Контрольная работа + 0.4 * Экзамен

Программа дисциплины