Бифуркации и хаос в двумерных и трехмерных отображениях

Аспирантура 2020/2021

Статус: Курс по выбору

Направление: 01.06.01. Математика и механика

Кто читает: Кафедра фундаментальной математики

Когда читается: 2-й курс, 1 семестр

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Гуревич Елена Яковлевна, Лерман Лев Михайлович, Малкин Михаил Иосифович, Ноздринова Елена Вячеславовна

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 48

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая программа устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям аспирантов, обучающихся по направлению по направлению 01.06.01 Математика и механика, профиль «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление». Программа разработана в соответствии c: • образовательным стандартом по направлению 01.06.01 Математика и механика • учебным планом подготовки аспирантов по направлению 01.06.01 Математика и механика, профиль «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление». Дисциплина относится к вариативной части подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре для направления 01.06.01 Математика и механика, профиля «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление». Дисциплина по выбору, преподается на 2 курсе. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 з.е., 152 академических часа.

Цель освоения дисциплины

Освоение понятий неподвижных точек, мультипликаторов и бифуркаций отображений.
Освоение аналитических и численных методов исследования бифуркаций двумерных отображений.

Планируемые результаты обучения

владеет терминологией, умеет доказывать основные теоремы раздела

Содержание учебной дисциплины

Бифуркации одномерных отображений
1.1. Одномерные отображения, неподвижные точки, мультипликаторы 1.2. Однопараметрический бифуркационный анализ 1.3. Касательная (седло-узловая) бифуркация 1.4. Бифуркация «вилка» 1.5. Бифуркация удвоения периода 1.6. Жесткий переход через мультипликатор μ = −1. Производная Шварца 1.7. Бифуркации циклов 1.8. Двухпараметрический бифуркационный анализ 1.9. Касательная бифуркация 1.10. Точка сборки 1.11. Понятия типичности и коразмерности 1.12. Удвоения периода. Структуры «crossroad area» 1.13. Жесткий переход через μ = −1. Структуры «spring area» 1.14. Глобальный бифуркационный анализ
Бифуркации двумерных отображений
1.1. Двумерные отображения, неподвижные точки и мультипликаторы 1.2. Треугольник устойчивости и бифуркации неподвижных точек 1.3. Бифуркации циклов 1.4. Бифуркационный анализ отображения Эно 1.5. Минимальное отображение Спротта 1.6. Универсальное двумерное отображение 1.7. Бифуркации потоков и их дискретные аналоги 1.8. Дискретный осциллятор Богданова-Такенса и отображение Богданова 1.9. Седло-узловая бифуркация инвариантных кривых и вырожденная бифуркация Неймарка-Сакера 1.10. Устойчивое и неустойчивое многообразия 1.11. Гомоклиническая структура 1.12. Примеры расчета устойчивого и неустойчивого многообразий. Нелокальные би-фуркации 1.13. Физическая реализация двумерных отображений
Бифуркации трехмерных отображений
1.1. Трехмерные отображения, неподвижные точки и мультипликаторы 1.2. Условия основных бифуркаций трехмерных отображений 1.3. Пространство параметров и бифуркации трехмерных отображений 1.4. Отображение Рихтера 1.5. Модели Спротта 1.6. Дискретный осциллятор Ресслера. Бифуркация удвоения инвариантной кривой 1.7. Универсальное трехмерное отображение 1.8. Модели с консервативной динамикой 1.9. Трехмерное отображение Эно
Динамический хаос
4.1. Динамические системы и хаос. Исторические сведения. 4.2. Хаос в простых моделях динамических систем. 4.3. Сведение исследования систем ДУ к анализу отображений. Построение сечения Пуанкаре. 4.4. Гомоклиническая структура. 4.5. Показатели Ляпунова. 4.6. Различные типа динамического хаоса.
Исследование конкретных динамических систем
Исследование стандартного отображения (отображения Чирикова). 5.2. Исследование трехмерного отображения Эно. 5.3. Построения показателей Ляпунова для аттрактора Лоренца в отображении Эно. 5.4. Построение отображения Пуанкаре для системы, описывающей качение двухсте-пенного маятника. 5.5. Построение отображения Пуанкаре в неголономной модели Суслова.

Элементы контроля

домашнее задание
итоговый опрос
домашнее задание
экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (I семестр)
0.3 * домашнее задание + 0.7 * итоговый опрос

Программа дисциплины