• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Аспирантура 2020/2021

Бифуркации и хаос в двумерных и трехмерных отображениях

Статус: Курс по выбору
Направление: 01.06.01. Математика и механика
Когда читается: 2-й курс, 1 семестр
Формат изучения: без онлайн-курса
Язык: русский
Кредиты: 4

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая программа устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям аспирантов, обучающихся по направлению по направлению 01.06.01 Математика и механика, профиль «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление». Программа разработана в соответствии c: • образовательным стандартом по направлению 01.06.01 Математика и механика • учебным планом подготовки аспирантов по направлению 01.06.01 Математика и механика, профиль «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление». Дисциплина относится к вариативной части подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре для направления 01.06.01 Математика и механика, профиля «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление». Дисциплина по выбору, преподается на 2 курсе. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 з.е., 152 академических часа.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Освоение понятий неподвижных точек, мультипликаторов и бифуркаций отображений.
  • Освоение аналитических и численных методов исследования бифуркаций двумерных отображений.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • владеет терминологией, умеет доказывать основные теоремы раздела
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Бифуркации одномерных отображений
    1.1. Одномерные отображения, неподвижные точки, мультипликаторы 1.2. Однопараметрический бифуркационный анализ 1.3. Касательная (седло-узловая) бифуркация 1.4. Бифуркация «вилка» 1.5. Бифуркация удвоения периода 1.6. Жесткий переход через мультипликатор μ = −1. Производная Шварца 1.7. Бифуркации циклов 1.8. Двухпараметрический бифуркационный анализ 1.9. Касательная бифуркация 1.10. Точка сборки 1.11. Понятия типичности и коразмерности 1.12. Удвоения периода. Структуры «crossroad area» 1.13. Жесткий переход через μ = −1. Структуры «spring area» 1.14. Глобальный бифуркационный анализ
  • Бифуркации двумерных отображений
    1.1. Двумерные отображения, неподвижные точки и мультипликаторы 1.2. Треугольник устойчивости и бифуркации неподвижных точек 1.3. Бифуркации циклов 1.4. Бифуркационный анализ отображения Эно 1.5. Минимальное отображение Спротта 1.6. Универсальное двумерное отображение 1.7. Бифуркации потоков и их дискретные аналоги 1.8. Дискретный осциллятор Богданова-Такенса и отображение Богданова 1.9. Седло-узловая бифуркация инвариантных кривых и вырожденная бифуркация Неймарка-Сакера 1.10. Устойчивое и неустойчивое многообразия 1.11. Гомоклиническая структура 1.12. Примеры расчета устойчивого и неустойчивого многообразий. Нелокальные би-фуркации 1.13. Физическая реализация двумерных отображений
  • Бифуркации трехмерных отображений
    1.1. Трехмерные отображения, неподвижные точки и мультипликаторы 1.2. Условия основных бифуркаций трехмерных отображений 1.3. Пространство параметров и бифуркации трехмерных отображений 1.4. Отображение Рихтера 1.5. Модели Спротта 1.6. Дискретный осциллятор Ресслера. Бифуркация удвоения инвариантной кривой 1.7. Универсальное трехмерное отображение 1.8. Модели с консервативной динамикой 1.9. Трехмерное отображение Эно
  • Динамический хаос
    4.1. Динамические системы и хаос. Исторические сведения. 4.2. Хаос в простых моделях динамических систем. 4.3. Сведение исследования систем ДУ к анализу отображений. Построение сечения Пуанкаре. 4.4. Гомоклиническая структура. 4.5. Показатели Ляпунова. 4.6. Различные типа динамического хаоса.
  • Исследование конкретных динамических систем
    Исследование стандартного отображения (отображения Чирикова). 5.2. Исследование трехмерного отображения Эно. 5.3. Построения показателей Ляпунова для аттрактора Лоренца в отображении Эно. 5.4. Построение отображения Пуанкаре для системы, описывающей качение двухсте-пенного маятника. 5.5. Построение отображения Пуанкаре в неголономной модели Суслова.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий домашнее задание
  • неблокирующий итоговый опрос
  • неблокирующий домашнее задание
  • неблокирующий экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (I семестр)
    0.3 * домашнее задание + 0.7 * итоговый опрос
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • . Kuznetsov, Sergey. Strange Nonchaotic Attractors : Dynamics Between Order and Chaos in Qua-siperiodically Forced Systems [Электронный ресурс] / Sergey Kuznetsov, Arkady Pikovsky, and Ul-rike Feudel. – World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 2014, . – ISBN: 9789812566331 (Print).

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Ильяшенко Ю.С., Ли Вейгу - Нелокальные бифуркации - Московский центр непрерывного математического образования - 2016 - 413с. - ISBN: 978-5-4439-2322-2 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/80116