Фурье-анализ и его прикладные аспекты

Магистратура 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Суперкомпьютерное моделирование в науке и инженерии)

Направление: 01.04.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Артамонов Сергей Юрьевич

Прогр. обучения: Суперкомпьютерное моделирование в науке и инженерии

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 32

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

This program defines the minimal requirements for student competencies, sets up the contents and formats of classes. The program is aimed at lecturers, teaching assistants and students of the specialization 01.04.04 “Applied mathematics” enrolled in the master’s program “Supercomputer simulation in science and engineering”. The program is constructed according to • FGOS VPO on the specialization 01.04.04 “Applied mathematics”. • Working plan of the university on the specialization 01.04.04 “Applied mathematics”. The learning objectives of the development of the discipline "Fourier analysis and its applications" are the formation of students' basic knowledge in the field of modern Fourier analysis and approximation theory, as well as the skills and abilities of their application in various tasks of natural science content; the formation of research skills and the ability to apply them in practice.

Цель освоения дисциплины

The learning objectives of the development of the discipline "Fourier analysis and its applications" are the formation of students' basic knowledge in the field of modern Fourier analysis and approximation theory

Планируемые результаты обучения

• know basic ideas of Functional analysis, Fourier analysis, theory of functional spaces etc;
• understand and be able to reproduce proofs of the key course theorems;
• be able to use mathematical machinery of the course in subsequent learning and professional activities.

Содержание учебной дисциплины

Metric spaces. Linear normed spaces. Eucleadean spaces. Linear operators.
The space of integrable functions L_1. The Hölder and Minkowski inequalities. L_p spaces
Approximation by polynomials: Taylor’s theorem, Weierstrass’ theorem.
Trigonometric polynomials and best approximation
Convolution of functions defined on real line and one dimensional torus.
Fourier series. Fourier coefficients of periodic functions (definition and properties). Partial sums of Fourier series in terms of the convolution.
Cesaro’s method of summation. Fejer’s theorem The Fourier series and orthogonality. Square integrable functions. The Parseval identity
Classical Fourier means. General construction of Fourier means.
The Fourier transform of integrable functions (Riemann’s lemma, Fourier transform of the convolutions)
The Fourier transform of Schwartz rapidly decreasing functions (inversion formula, Parseval identity, Fourier transform and differentiation)
Poisson’s summation formula
Convergence of the Fourier means in Lp spaces.
Quantitative questions: modulus of continuity and modulus of smoothness
Theorems of Jackson and Bernstein type

Элементы контроля

самостоятельные работы
домашние задания
экзамен
Контрольно-измерительные материалы
самостоятельные работы
домашние задания
экзамен
Контрольно-измерительные материалы

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.25 * домашние задания + 0.25 * самостоятельные работы + 0.5 * экзамен

Программа дисциплины