• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2020/2021

Принципы математического доказательства

Статус: Курс обязательный (Политология)
Направление: 41.03.04. Политология
Когда читается: 2-й курс, 4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Язык: русский
Кредиты: 3

Программа дисциплины

Аннотация

Для специализаций «Политический анализ» и «Политическое управление» настоящая дисциплина является базовой. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: • Алгебра и анализ • Теория вероятностей Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: • владеть курсом математики в рамках школьной программы и программы математических дисциплин 1-2 курсов. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: • Теория игр • Математические модели политэкономии
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • • знакомство слушателей c основными методами математических доказательств • формирование практических навыков чтения, проверки и анализа доказательств различных утверждений • развитие умения проводить цепочки строго обоснованных логических утверждений, формируемого в ходе последовательного изучения цикла математических дисциплин
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Умение читать и интерпретировать формулы
  • Умение составлять таблицы истинности для базовых логических функций. Умение проверять истинность утверждения с помощью таблиц истинности.
  • Умение определять, в каких случаях контрпример является доказательством, а в каких нет. Умение строить корректное доказательство данного утверждения
  • Умение определять вид доказательства. Умение использовать подходящий метод доказательства для конкретных задач.
  • Умение проверять корректрость приведенного доказательства.
  • Умение проверять корректность приведенного доказательства.
  • Умение проверять применимо ли данное утверждение в условиях определенных задач.
  • Умение проверять и строить доказательства с использованием математической индукции.
  • Знание формулировки теоремы Геделя о неполноте.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Язык математики. Интерпретация формул
    Примеры формул из разных областей (математики, физики, экономики и др.) и их интерпретация. Прямая и обратная пропорциональность, степенная зависимость и др. Пустое множество и его свойства.
  • Элементы математической логики
    Логическое следование и равносильность, отрицание. Необходимые и достаточные условия. Закон силлогизма (ассоциативность импликации). Кванторы всеобщности и существования. Построение отрицания высказываний с кванторами. Дедукция и индукция.
  • Концепция контрпримеров. Доказательство методом полного перебора.
    Понятие контрпримера. Примеры утверждений, которые доказываются с помощью контрпримеров. Примеры утверждений, которые нельзя доказать с помощью контрпримера. Доказательство методом полного перебора. Отличие от дедуктивного метода.
  • Доказательство от противного. Доказательство с помощью правила контрапозиции. Отличие и схожесть этих двух методов.
    Доказательство от противного. Примеры утверждений, доказываемых от противного. Доказательство с помощью правила контрапозиции. Примеры утверждений, доказываемых с помощью правила контрапозиции. Отличие и схожесть этих двух методов.
  • Прямые и косвенные, конструктивные и неконструктивные доказательства. Принцип Дирихле.
    Виды доказательств. Прямые и косвенные, конструктивные и неконструктивные доказательства. Примеры. Принцип Дирихле. Примеры доказательств, основанных на принципе Дирихле.
  • Чтение доказательств. Доказательства в несколько ходов
    Примеры «длинных» доказательств: с разбором случаев, длинной цепочкой следствий. Обоснование необходимости таких доказательств.
  • Проверка корректности доказательств. Примеры неверных доказательств.
    Примеры доказательств с ошибками. Проверка логики доказательства. Определение вида доказательства и, как следствие, что в нем может быть не верно. Построение своих доказательств и их анализ.
  • Проверка применимости утверждений к конкретным задачам.
    Примеры утверждений и задач, к которым они применимы или не применимы.
  • Принцип математической индукции.
    Аксиома математической индукции. Отличие математической индукции от понятия индукции в логике. Примеры утверждений, доказываемых с помощью математической индукции.
  • Границы применимости. Принцип исключенного третьего.
    Принцип исключенного третьего. Существование утверждений, которые не верны, но и не неверны. Теорема Геделя.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Работа на семинарах и лекциях
  • неблокирующий Домашние задания
  • неблокирующий Экзамен
    Экзамен проводится письменно в очной форме. Время написания работы - 120 минут. Во время работы студентам разрешено пользоваться собственноручно написанной синей ручкой шпаргалкой формата A4. Если неокруглённая оценка за домашние задания и неокруглённая оценка за аудиторную работу не меньше 8 баллов, то студенту может быть предложено автоматическое выставление итоговой оценки по курсу, равной накопленной оценке (округлённой арифметически), без сдачи экзамена. В случае изменения эпидемиологической обстановки экзамен может быть проведён дистанционно. Правила проведения экзамена в этом случае будут объявлены дополнительно. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи, в зависимости от эпидемиологической ситуации может проходить как в аудиторном формате, так и дистанционно.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.3 * Домашние задания + 0.3 * Работа на семинарах и лекциях + 0.4 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Успенский В.А. - Простейшие примеры математических доказательств - Московский центр непрерывного математического образования - 2009 - 56с. - ISBN: 978-5-94057-492-7 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9427
  • Шаповалов А.В. - Как построить пример? - Московский центр непрерывного математического образования - 2016 - 80с. - ISBN: 978-5-4439-2370-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/80120

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Математическая логика : учеб. пособие для вузов, Ершов, Ю. Л., Палютин, Е. А., 1979
  • Шаповалов А.В. - Математические конструкции: от хижин к дворцам - Московский центр непрерывного математического образования - 2016 - 177с. - ISBN: 978-5-4439-2426-7 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/71841