Принципы математического доказательства

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Политология)

Направление: 41.03.04. Политология

Кто читает: Кафедра высшей математики

Где читается: Факультет социальных наук

Когда читается: 2-й курс, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Кочергин Вадим Васильевич, Михайлович Анна Витальевна, Сысоева Любовь Николаевна

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 40

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Для специализаций «Политический анализ» и «Политическое управление» настоящая дисциплина является базовой. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: • Алгебра и анализ • Теория вероятностей Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: • владеть курсом математики в рамках школьной программы и программы математических дисциплин 1-2 курсов. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: • Теория игр • Математические модели политэкономии

Цель освоения дисциплины

• знакомство слушателей c основными методами математических доказательств • формирование практических навыков чтения, проверки и анализа доказательств различных утверждений • развитие умения проводить цепочки строго обоснованных логических утверждений, формируемого в ходе последовательного изучения цикла математических дисциплин

Планируемые результаты обучения

Умение читать и интерпретировать формулы
Умение составлять таблицы истинности для базовых логических функций. Умение проверять истинность утверждения с помощью таблиц истинности.
Умение определять, в каких случаях контрпример является доказательством, а в каких нет. Умение строить корректное доказательство данного утверждения
Умение определять вид доказательства. Умение использовать подходящий метод доказательства для конкретных задач.
Умение проверять корректрость приведенного доказательства.
Умение проверять корректность приведенного доказательства.
Умение проверять применимо ли данное утверждение в условиях определенных задач.
Умение проверять и строить доказательства с использованием математической индукции.
Знание формулировки теоремы Геделя о неполноте.

Содержание учебной дисциплины

Язык математики. Интерпретация формул
Примеры формул из разных областей (математики, физики, экономики и др.) и их интерпретация. Прямая и обратная пропорциональность, степенная зависимость и др. Пустое множество и его свойства.
Элементы математической логики
Логическое следование и равносильность, отрицание. Необходимые и достаточные условия. Закон силлогизма (ассоциативность импликации). Кванторы всеобщности и существования. Построение отрицания высказываний с кванторами. Дедукция и индукция.
Концепция контрпримеров. Доказательство методом полного перебора.
Понятие контрпримера. Примеры утверждений, которые доказываются с помощью контрпримеров. Примеры утверждений, которые нельзя доказать с помощью контрпримера. Доказательство методом полного перебора. Отличие от дедуктивного метода.
Доказательство от противного. Доказательство с помощью правила контрапозиции. Отличие и схожесть этих двух методов.
Доказательство от противного. Примеры утверждений, доказываемых от противного. Доказательство с помощью правила контрапозиции. Примеры утверждений, доказываемых с помощью правила контрапозиции. Отличие и схожесть этих двух методов.
Прямые и косвенные, конструктивные и неконструктивные доказательства. Принцип Дирихле.
Виды доказательств. Прямые и косвенные, конструктивные и неконструктивные доказательства. Примеры. Принцип Дирихле. Примеры доказательств, основанных на принципе Дирихле.
Чтение доказательств. Доказательства в несколько ходов
Примеры «длинных» доказательств: с разбором случаев, длинной цепочкой следствий. Обоснование необходимости таких доказательств.
Проверка корректности доказательств. Примеры неверных доказательств.
Примеры доказательств с ошибками. Проверка логики доказательства. Определение вида доказательства и, как следствие, что в нем может быть не верно. Построение своих доказательств и их анализ.
Проверка применимости утверждений к конкретным задачам.
Примеры утверждений и задач, к которым они применимы или не применимы.
Принцип математической индукции.
Аксиома математической индукции. Отличие математической индукции от понятия индукции в логике. Примеры утверждений, доказываемых с помощью математической индукции.
Границы применимости. Принцип исключенного третьего.
Принцип исключенного третьего. Существование утверждений, которые не верны, но и не неверны. Теорема Геделя.

Элементы контроля

Работа на семинарах и лекциях
Домашние задания
Экзамен
Экзамен проводится письменно в очной форме. Время написания работы - 120 минут. Во время работы студентам разрешено пользоваться собственноручно написанной синей ручкой шпаргалкой формата A4. Если неокруглённая оценка за домашние задания и неокруглённая оценка за аудиторную работу не меньше 8 баллов, то студенту может быть предложено автоматическое выставление итоговой оценки по курсу, равной накопленной оценке (округлённой арифметически), без сдачи экзамена. В случае изменения эпидемиологической обстановки экзамен может быть проведён дистанционно. Правила проведения экзамена в этом случае будут объявлены дополнительно. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи, в зависимости от эпидемиологической ситуации может проходить как в аудиторном формате, так и дистанционно.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.3 * Домашние задания + 0.3 * Работа на семинарах и лекциях + 0.4 * Экзамен

Программа дисциплины