Основы стохастики. Стохастические модели

Магистратура 2020/2021

Статус: Курс по выбору (Науки о данных)

Направление: 01.04.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Базовая кафедра Яндекс

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Прогр. обучения: Науки о данных

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 48

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

"Принятие рациональных решений может быть осуществлено только на основе исторической информации о поведении рассматриваемого объекта. Известная историческая информация об объекте агрегируется в модели объекта, призванной отразить основные (важные для исследователя) особенности его поведения. Полный (""производственный"") цикл построения модели объекта состоит из: сбора данных; собственно построения математической модели объекта, задаваемой системой соотношений между математическими величинами, характеризующими основные особенности объекта; идентификации математической модели по собранным данным; валидации модели и последующего уточнения модели. Далее на основе модели объекта происходит прогнозирование его поведения и принятие соответствующих рациональных решений. При принятии рациональных решений в любой из сфер человеческой деятельности необходимо учитывать случайную природу изменений, происходящих с окружающей средой. По этой причине именно стохастические модели широко используются в социальных, физических, инженерных и других науках. Построение стохастических моделей и их использование на практике невозможно без твердых знаний основных математических инструментов, позволяющих работать со случайностью. Именно поэтому предлагаемый вероятностно-статистический цикл ""Стохастика"", состоящий из лекций и семинарских занятий, призван дать изложение основных понятий теории вероятностей и теории случайных процессов, необходимых для последующего курса лекций и семинарских занятий (весенний семестр) по ""Вероятностно-статистическим методам в теории принятия решений"", являющихся, по существу, ""стохастическими"". Изложение лекций будет следовать исторической схеме становления стохастических дисциплин, что дает лучшее представление об эволюции и значении основных вероятностно-стохастических концепций, моделей, методов, оперирующих с понятием ""случайность"". Также курс позволит студентам ознакомиться с основными типами стохастических процессов и позволит овладеть всеми необходимыми инструментами для того, чтобы разрабатывать методы скорейшего обнаружения разладки и детектирования аномалий и использовать эти методы в задачах мониторинга состояния различных систем."

Цель освоения дисциплины

Уметь находить вероятности событий.
Знать основные дискретные распределения.
Иметь представление о предельном поведении результатов испытаний Бернулли.

Планируемые результаты обучения

Уметь находить вероятности событий
Уметь рассуждать в рамках классической вероятностей парадигмы
Знать основные дискретные распределения
Уметь находить условные вероятности
Уметь проверять независимость событий
Понимать, что такое случайная величина
Уметь находить основные численные и функциональные характеристики случайных величин
Иметь представление о предельном поведении результатов испытаний Бернулли
Знать основные результаты о случайных бужданиях
Владеть основными свойствами мартингалов
Уметь работать с дискретными марковскими цепями
Владеть аксиоматикой Колмогорова
Владеть основами теории интеграла Лебега
Уметь рассуждать и делать выводы о предельном поведении средних значений случайных величин
Уметь работать со случайными процессами

Содержание учебной дисциплины

Дискретные распределения
Число элементарных исходов, когда происходит выбор с возвращением/без возвращения, выборки упорядоченные/неупорядоченные. Связь с задачей подсчета числа размещений дробинок по ячейкам. Классические вероятностные задачи на подсчет случайных шансов (задача о совпадениях, выигрыш в лотерею). Биномиальное распределение. Мультиномиальное распределение. Многомерное гипергеометрическое распределение.
Условные вероятности
Условные вероятности. Независимость. Условное математическое ожидание. Определение условной вероятности, свойства. Формула полной вероятности. Формула Байеса, теорема Байеса. Определение независимости событий. Пример, что из попарное независимости событий вообще говоря не следует их независимости. Схема Бернулли.
Схема Бернулли
Схема Бернулли. Неравенство Чебышева, следствия. Закон больших чисел Бернулли. Предельные теоремы (локальная, Муавра-Лапласа, Пуассона).
Случайное блуждание
Случайное блуждание. Вероятности разорения и средняя продолжительность при игре с бросанием монеты. Принцип отражения. Закон арксинуса.
Сходимость случайных величин
Слабая сходимость вероятностных мер. Метод характеристических функций в доказательстве предельных теорем. Определение слабой сходимости вероятностных мер. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема для сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Теорема Пуассона.
Мартингалы
Мартингалы. Определение. Примеры мартингалов. Определение момента остановки. Тождества Вальда.
Дискретные случайные величины и их характеристики
Дискретные случайные величины и их характеристики. Определение случайной величины. Распределение случайной величины. Свойства функции распределения случайной величины. Определение математического ожидания, дисперсии, ковариации и корреляции, свойства. Наилучший в среднеквадратичном линейный прогноз значений одной случайной величины по значений другой случайной величины.
Дискретные марковские цепи
Дискретные марковские цепи. Эргодическая теорема. Общее определение марковского процесса. Определение дискретной марковской цепи. Уравнение Колмогорова-Чепмена. Одно-родная марковская цепь. Классификация состояний марковской цепи (несущественные, воз-вратные, сообщающиеся, нулевые, периодические, эргодические состояния), теорема о "со-лидарности" их свойств. Неразложимая дискретная марковская цепь. Необходимое и достаточное условие возвратности состояния однородной дискретной марковской цепи. Определение эргодичной дискретной марковской цепи. Стационарное распределение. Эргодическая теорема в случае однородной дискретной марковской цепи.
Случайные процессы
Гауссовские, стационарные и марковские случайные процессы, случайные функции с ортогональными и независимыми приращениями. Винеровский процесс.
Классическое определение вероятности
Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов. Определение вероятностного пространства, алгебры, событий. Классические вероятностные задачи на подсчет случайных шансов.
Аксиоматика Колмогорова
Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом событий. Аксиоматика Колмогорова. Разные виды сходимости случайных величин. Аксиоматика Колмогорова. Алгебры и сигма-алгебры. Измеримые пространства (R, B(R)), (R^d, B(R^d)), (R^{\infty}, B(R^{\infty})) и (R^T, B(R^T)), где T произвольное множество. Примеры дискретных мер, примеры абсолют-но непрерывных мер. Многомерное нормальное распределение. Теорема Колмогорова о продолжении мер в (R^{\infty}, B(R^{\infty})) (без доказательства). Определение случайной ве-личины и ее свойства. Функция распределения и ее свойства. Построение интеграла Лебега. Математическое ожидание, свойства. Теорема о монотонной сходимости, лемма Фату, теоре-ма Лебега о мажорируемой сходимости (без доказательства). Семейство равномерное инте-грируемых случайных величин, достаточное условие равномерной интегрируемости. Нера-венство Чебышева, Коши-Буняковского, Иенсена, Ляпунова, Гёльдера, Минковского. Теоре-ма РадонаНикодима (без доказательства). Определение условного математического ожидания и условной вероятности, свойства. Разные виды сходимости последовательностей случайных величин, определения, соотношения разных видов сходимости друг с другом, контрпримеры. Лемма Бореля-Кантелли. Определение характеристической функции, свойства, примеры.

Элементы контроля

Домашняя работа
Домашняя работа
Экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.3 * Домашняя работа + 0.3 * Домашняя работа + 0.4 * Экзамен

Программа дисциплины