• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2020/2021

Статистический анализ и моделирование сложных систем

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Курс по выбору (Прикладная математика)
Направление: 01.03.04. Прикладная математика
Когда читается: 4-й курс, 1-3 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Язык: русский
Кредиты: 8

Программа дисциплины

Аннотация

В курсе излагаются элементы теории динамического хаоса, рассматриваются основные методы описания и моделирования сложных систем. Особое внимание уделяется сетевым подходам изучения сложных систем. Помимо теории курс знакомит с основными библиотеками Python для анализа и моделирования сложных систем и содержит практические задания.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • знакомство с основными методами анализа сложных систем, а также и их приложений к проблемам физики конденсированного состояния, биофизики, вычислительной математики, социальных наук
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Анализирует нелинейные системы 1 и 2 порядка, умеет определять точки бифуркаций
  • Знает определение динамического хаоса, анализирует дискретные отображения
  • Вычисляет основные характеристики сети, знает принципы построения случайных сетей
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Основы нелинейной динамики
    Сложные системы и их свойства. Нелинейные взаимодействия. Динамические системы, свойства, размерность. Устойчивость траекторий, бифуркации. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость стационарных решений. Нелинейные системы дифференциальных уравнений. Стационарные решения, их классификация. Линеаризация. Отсутствие замкнутых траекторий в системах дифференциальных уравнений: градиентная система и построение функции Ляпунова. Понятие о предельном цикле. Критерии отсутствия предельных циклов. Теорема Пуанкаре-Бендиксона. Бифуркация Хопфа.
  • Введение в теорию хаотических систем
    Система Лоренца и ее свойства. Детерминированный хаос. Диаграмма Ламерея. Условия устойчивости неподвижной точки. Логистическое разностное уравнение: бифуркация удвоения периода, хаос и «окна периодичности». Ляпуновские показатели. Универсальность Фейгенбаума. Странные аттракторы динамических систем.
  • Основы теории и моделирования сложных сетей
    Определения и примеры сложных сетей. Основные понятия в теории сетей. Свойства и метрики. Распределение степеней связности, коэффициенты кластеризации, ассортативность, диаметр, кратчайшие пути. Модель Эрдеша-Реньи. Распределение Бернулли и Пуассона. Функция распределения степеней. Возникновение связанной компоненты. Модель Барабаши-Альберта (Barabasi-Albert). Предпочтительное присоединение. Уравнение в непрерывном приближении. Временная эволюция степеней узлов. Распределение степеней узлов. Средняя длина пути и коэффициент кластеризации. Свойства "малого мира".
  • Алгоритмы анализа сетевых структур
    Понятие сообщества в сети. Плотность связей. Метрики. Разделение графа на части. Разрезы в графе. Минимальный разрез, нормированные разрез. Задача нахождения минималь-но разреза в графе. Агломеративные и разделяющие алгоритмы. Корреляционная матрица. Кластеризация. Алгортмы Гирвина-Ньюмана. Спектраль-ные методы. Оптимизация модулярности. Классификация алгоритмов нахождения сообществ. Алгоритмы визуализации и векторного представления вершин для задач машинного обучения.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий контрольные работы
  • неблокирующий экзамен
  • неблокирующий домашние задания
  • неблокирующий работа на семинарах
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    0.2 * домашние задания + 0.2 * контрольные работы + 0.2 * работа на семинарах + 0.4 * экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Ахромеева Т.С., Курдумов С.П., Малинецкий Г.Г. - Структуры и хаос в нелинейных средах - Издательство "Физматлит" - 2007 - 488с. - ISBN: 978-5-9221-0887-4 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2094

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Balister, P., Bollobás, B., Gunderson, K., Leader, I., & Walters, M. (2015). Random Geometric Graphs and Isometries of Normed Spaces. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsbas&AN=edsbas.82683F55
  • Имитационное моделирование объектов с хаотическими факторами: Учебное пособие / Кобелев Н.Б. - М.: КУРС, НИЦ ИНФРА-М, 2017. - 192 с.: - (Бакалавриат) - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/754579
  • Фракталы и хаос в динамических системах : учеб. пособие, Кроновер, Р. М., Кренкеля, Т. Э., 2006