Статистический анализ и моделирование сложных систем

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика)

Направление: 01.03.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 4-й курс, 1-3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Вальба Ольга Владимировна

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 100

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

В курсе излагаются элементы теории динамического хаоса, рассматриваются основные методы описания и моделирования сложных систем. Особое внимание уделяется сетевым подходам изучения сложных систем. Помимо теории курс знакомит с основными библиотеками Python для анализа и моделирования сложных систем и содержит практические задания.

Цель освоения дисциплины

знакомство с основными методами анализа сложных систем, а также и их приложений к проблемам физики конденсированного состояния, биофизики, вычислительной математики, социальных наук

Планируемые результаты обучения

Анализирует нелинейные системы 1 и 2 порядка, умеет определять точки бифуркаций
Знает определение динамического хаоса, анализирует дискретные отображения
Вычисляет основные характеристики сети, знает принципы построения случайных сетей

Содержание учебной дисциплины

Основы нелинейной динамики
Сложные системы и их свойства. Нелинейные взаимодействия. Динамические системы, свойства, размерность. Устойчивость траекторий, бифуркации. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость стационарных решений. Нелинейные системы дифференциальных уравнений. Стационарные решения, их классификация. Линеаризация. Отсутствие замкнутых траекторий в системах дифференциальных уравнений: градиентная система и построение функции Ляпунова. Понятие о предельном цикле. Критерии отсутствия предельных циклов. Теорема Пуанкаре-Бендиксона. Бифуркация Хопфа.
Введение в теорию хаотических систем
Система Лоренца и ее свойства. Детерминированный хаос. Диаграмма Ламерея. Условия устойчивости неподвижной точки. Логистическое разностное уравнение: бифуркация удвоения периода, хаос и «окна периодичности». Ляпуновские показатели. Универсальность Фейгенбаума. Странные аттракторы динамических систем.
Основы теории и моделирования сложных сетей
Определения и примеры сложных сетей. Основные понятия в теории сетей. Свойства и метрики. Распределение степеней связности, коэффициенты кластеризации, ассортативность, диаметр, кратчайшие пути. Модель Эрдеша-Реньи. Распределение Бернулли и Пуассона. Функция распределения степеней. Возникновение связанной компоненты. Модель Барабаши-Альберта (Barabasi-Albert). Предпочтительное присоединение. Уравнение в непрерывном приближении. Временная эволюция степеней узлов. Распределение степеней узлов. Средняя длина пути и коэффициент кластеризации. Свойства "малого мира".
Алгоритмы анализа сетевых структур
Понятие сообщества в сети. Плотность связей. Метрики. Разделение графа на части. Разрезы в графе. Минимальный разрез, нормированные разрез. Задача нахождения минималь-но разреза в графе. Агломеративные и разделяющие алгоритмы. Корреляционная матрица. Кластеризация. Алгортмы Гирвина-Ньюмана. Спектраль-ные методы. Оптимизация модулярности. Классификация алгоритмов нахождения сообществ. Алгоритмы визуализации и векторного представления вершин для задач машинного обучения.

Элементы контроля

контрольные работы
экзамен
домашние задания
работа на семинарах

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.2 * домашние задания + 0.2 * контрольные работы + 0.2 * работа на семинарах + 0.4 * экзамен

Программа дисциплины