Вероятностные и статистические модели управления

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Бизнес-информатика)

Направление: 38.03.05. Бизнес-информатика

Кто читает: Департамент бизнес-информатики

Где читается: Высшая школа бизнеса

Когда читается: 2-й курс, 2, 3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Дмитриев Андрей Викторович, Попов Виктор Юрьевич, Сильчев Виталий Артемович

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 70

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Курс посвящен изучению основ теории вероятностей и математической статистики, и приложениям теории к решению задач в области управления (в частности управления инвестиционным портфелем) и принятия решений в условиях неопределенности.

Цель освоения дисциплины

Освоить основы теории вероятностей и математической статистики
Уметь решать задачи, связанные с приложениями теории к решению задач в области управления и принятия решений.

Планируемые результаты обучения

Знать основные определения теории вероятность и уметь применять основные теоремы в принятии решений
Знать и уметь применять основные формулы и теоремы, связанный с повторением результатов
Понимать и уметь использовать характеристики ДСВ в принятии решений
Понимать сущность понятия случайной величины
Знать и уметь использовать в принятии решений основные вероятностные распределения
Знать и уметь применять условные законы распределения случайных величин
Знать и уметь рассчитывать основные характеристики выборок
Уметь получать точечные оценки параметров распределений
Уметь применять модель стохастической волатильности
Уметь применять уравнение Блэка-Шоулза (постоянная волатильность)
Уметь применять однофакторную модель оценивания характеристик активов
Уметь формировать оптимальную структуру инвестиционного портфеля
Уметь оценивать стоимость опциона в рамках биномиальной модели ценообразования
Уметь оценивать риски и доходность финансовых операций
Уметь проверять статистические гипотезы.
Знать основные статистические распределения
Уметь получать интервальные оценки параметров распределений

Содержание учебной дисциплины

Вероятностное пространство
Характеристики случайных явлений. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Вероятности исходов и событий. Вероятностное пространство случайного эксперимента. Свойства вероятностей событий. Способы задания вероятностей.
Независимость событий
Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Вероятность совместного появления событий (теорема умножения вероятностей независимых событий).
Элементы комбинаторики. Биномиальное распределение
Упорядоченные и неупорядоченные выборки. Выбор с возвращением (упорядоченные и неупорядоченные выборки). Выбор без возвращения (упорядоченные и неупорядоченные выборки). Размещение "дробинок" по "ячейкам". Биномиальное распределение в вероятностной модели, описывающей n-кратное подбрасывание монеты. Случайное блуждание "частицы" (схема Бернулли).
Случайные величины
Понятие случайной величины. Распределение вероятностей случайной величины. Дискретное распределение. Непрерывное распределение. Плотность распределения и ее свойства. Функция распределения и ее свойства. Дискретные распределения: вырожденное распределение, распределение Бернулли, биномиальное распределение, геометрическое распределение, распределение Пуассона. Равномерные распределения: равномерное распределение, показательное распределение, нормальное распределение. Свойства нормального распределения. Правило трех сигм. Характеристики распределений: математическое ожидание и его свойства, дисперсия и моменты старших порядков. Свойства дисперсии. Среднеквадратическое отклонение.
Многомерные распределения
Многомерный случайный вектор. Совместное распределение. Свойства функции совместного распределения. Дискретное и непрерывное совместные распределения. Плотность совместного распределения и ее свойства. Равномерное распределение. Нормальное распределение. Матрица ковариаций. Независимость случайных величин с дискретным и непрерывным совместными распределениями. Ковариация случайных величин и ее свойства. Коэффициент корреляции и его свойства.
Схема Бернулли
Номер первого успешного испытания. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях. Независимые испытания с несколькими исходами. Производящая функция вероятностей. Предельная теорема Муавра – Лапласа. Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Функция Лапласа и ее свойства. Локальная теорема Муавра – Лапласа. Сходимость по вероятности. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел (Чебышев). Закон больших чисел (Бернулли). Центральная предельная теорема. Условие Ляпунова. Центральная предельная теорема Ляпунова. Устойчивые распределения.
Выборочный метод. Выборочные характеристики и распределения
Выборочные характеристики. Выборочное распределение. Таблица выборочного распределения. Функция выборочного распределения. Математическое ожидание. Дисперсия. Момент порядка к. Эмпирическая функция распределения. Вариационный ряд. Гистограмма. Выборочные моменты. Состоятельность выборочных характеристик. Свойства эмпирической функции распределения. Теорема Гливенко – Кантелли. Несмещенная оценка. Асимптотически нормальная оценка. Свойства гистограммы. Свойства выборочных моментов.
Точечные оценки
Точечные оценки и их свойства. Параметрические семейства распределений. Оценка параметра. Несмещённая оценка. Асимптотически несмещённая оценка параметра. Состоятельная оценка параметра. Две оценки дисперсии. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия. Сравнение точечных оценок. Среднеквадратичный подход. Класс несмещенных оценок. Эффективная оценка в классе К. Асимптотический подход. Асимптотически нормальная оценка параметра. Регулярность семейства распределений. Носитель параметрического семейства распределений. Условия регулярности. Неравенство Рао–Крамера.
Модель стохастической волатильности
Переменная волатильность с функциональной зависимостью. Хеджирование и страхование рыночного риска. Хеджирующие соотношения. Рыночная цена риска. Риск волатильности.
Уравнение Блэка-Шоулза (постоянная волатильность)
Понятие случайного процесса. Винеровский случайный процесс. Процессы с ненулевым средним. Лемма Ито. Уравнение Блэка-Шоулза. Дифференциальное уравнение Ито. Ограничения модели Блэка-Шоулза. Приведение уравнение Блэка-Шоулза к каноническому виду. Риск нейтральность.
Интервальные оценки
Доверительный интервал. Асимптотический доверительный интервал. Асимптотически точный доверительный интервал. Квантиль уровня. Алгоритм построения точных интервальных оценок.
Статистические гипотезы
Гипотезы и критерии. Простая и сложная гипотезы. Основная и альтернативная гипотезы. Простая основная гипотеза и сложная альтернатива. Сложная основная гипотеза и сложная альтернатива. Выбор из нескольких простых гипотез: простая основная гипотеза и сложная альтернатива; сложная основная гипотеза и сложная альтернатива. Гипотеза однородности. Гипотеза независимости. Критерий гипотезы. Ошибка i-го рода критерия. Вероятность ошибки i-го рода критерия. Сравнение критериев. Критическая область. Критический уровень критерия. Мощность критерия. Минимаксный подход. Область принятия гипотезы. Критические точки. Правосторонняя, левосторонняя и двусторонняя критические области. Идентификация правосторонней критической области. Идентификация левосторонней и двусторонней критических областей. Сравнение двух истинных дисперсий из нормального распределения. Сравнение несмещенной выборочной дисперсии с истинной дисперсий из нормального распределения. Сравнение двух выборочных средних из нормального распределения, дисперсии которых известны (независимые выборки). Сравнение двух выборочных средних из нормального распределения, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки). Критерий согласия Пирсона (гипотеза о нормальном распределении).
Биномиальная модель ценообразования опционов
Колл-опцион и пут-опцион. Основные меры опционов: цена и период исполнения, стоимость базового актива и опциона. Природа стоимости опциона. Факторы, влияющие на стоимость опциона. Волатильность базового актива. Однопериодная биномиальная модель ценообразования опциона. Двухпериодная биномиальная модель ценообразования опциона. n-периодная биномиальная модель ценообразования опциона.
Однофакторная модель оценивание характеристик активов
Проблема оценивания характеристик активов. Модельные предположения однофакторной рыночной модели Шарпа. Вычисление характеристик активов. Бета-коэффициенты рисковых активов. Анализ риска инвестиционного портфеля. Пересмотр портфеля и оценка эффективности управления портфелем. Диверсификация инвестиционного портфеля.
Теоретико-вероятностная интерпретация риска и доходности финансовой операции
Понятие риска. Классификация рисков. Оценка риска и доходности через вероятностные моменты. Теоретико-вероятностные основы диверсификации. Эффект диверсификации. Влияние масштабов диверсификации на риск композитной финансовой операции. Теоретико-вероятностные основы хеджирования. Страхование и опционы как вид хеджирования. Принятие решений в условиях частичной неопределенности: максимизация среднего ожидаемого дохода; минимизация среднего ожидаемого риска; оптимальная (в смысле Парето) финансовая операция; правило Лапласа равновозможности.
Теоретико-вероятностные основы управления инвестиционным портфелем
Способы формального представления структуры инвестиционных портфелей. Короткие продажи. Формированию инвестиционного портфеля на основе показателей доходности и риска. Эффекты портфельного инвестирования. Взаимно независимые активы. эффект диверсификации портфеля. Влияние корреляции доходностей активов. Оптимизация структуры портфеля рисковых активов. Эффективные инвестиционные портфели и их свойства. Оптимизация структуры инвестиционного портфеля при возможности безрискового кредитования и заимствования. Характеристики и свойства комбинированного инвестиционного портфеля и оптимизация его структуры. Свойства оптимальных комбинированных портфелей. Задача Марковица – Тобина.
Основные статистические распределения
Гамма-распределение. Гамма-функция Эйлера. Распределение хи-квадрат Пирсона. Распределение Стьюдента. Распределение Фишера. Теорема Фишера.

Элементы контроля

контрольная работа 1 (теория вероятностей)
экзамен
Письменный экзамен в аудитории (продолжительность написания экзаменационной работы - 150 минут
контрольная работа 2 (математическая статистика)
защита проекта (управление инвестиционным портфелем)

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.4 * защита проекта (управление инвестиционным портфелем) + 0.1 * контрольная работа 1 (теория вероятностей) + 0.1 * контрольная работа 2 (математическая статистика) + 0.4 * экзамен

Программа дисциплины