Введение в качественную и аналитическую теорию нелинейных динамических систем

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика)

Направление: 01.03.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 3-й курс, 3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Синельщиков Дмитрий Игоревич

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 40

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

В курсе рассматриваются основы как качественной, так и аналитической теории динамических систем. В первой части курса предполагается рассмотреть одномерные динамические системы с дискетным временем или одномерные отображения и одномерные, двумерные и трехмерные динамические системы. На примере данных систем будут обсуждаться основы теории бифуркаций динамических систем, понятие динамического хаоса и ряд сценариев перехода от регулярной к хаотической динамике. Также будет введено понятие устойчивости по Ляпунову траектории динамической системы и методы численной оценки показателей Ляпунова для отображений и динамических систем. Предполагается рассмотреть и исследовать с помощью обсуждаемых подходов несколько математических моделей, используемых для описания процессов и явлений в биологии, механике, химии и других разделах науки. В рамках второй части курса предполагается рассмотреть основные аспекты, связанные с интегрируемостью динамических систем. Предполагается обсудить алгебраические и аналитические подходы и кратко остановится на понятии интегрируемой Гамильтоновой системы. Будут обсуждаться понятия первого интеграла, интегрирующего множителя и множителя Якоби, алгебраическая интегрируемость, представление Лакса. В рамках аналитического подхода будет рассмотрен метод Пенлеве. Предполагается иллюстрировать рассматриваемые методы на динамических системах, имеющих приложения в различных разделах науки.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с основными понятиями и методами качественной и аналитической теорий нелинейных динамических систем.
Ознакомление студентов с применением качественных и аналитических подходов для исследования динамических систем, встречающихся в различных приложениях.
Формирования у студентов навыков использования современного программного обеспечения при решении прикладных задач методами качественной и аналитической теории динамических систем.

Планируемые результаты обучения

Студент должен знать: основные методы и подходы качественной теории динамических систем.
Студент должен иметь навыки использования методов качественно теории динамических систем для решения прикладных задач.
Студент должен уметь: проводить классификацию неподвижных точек динамической системы; строить фазовые портреты, сечения Пуанкаре и бифуркационные диаграммы для динамической системы.
Студент должен знать основные понятия и методы аналитической теории динамических систем.
Студент должен иметь навыки использования методов аналитической теории динамических систем для решения прикладных задач.
Студент должен уметь: использовать определения первого интеграла, интегрирующего множителя и множителя Якоби для их поиска; проверять выполнение необходимых условий теста на свойство Пенлеве.

Содержание учебной дисциплины

Качественные методы исследования динамических систем
Одномерные динамические системы с дискретным временем или одномерные отображения. Одномерные, двумерные и трехмерные динамические системы. Основы теории бифуркаций динамических систем, понятие динамического хаоса, сценарии перехода от регулярной к хаотической динамике. Устойчивости по Ляпунову траектории динамической системы, методы численной оценки показателей Ляпунова для отображений и динамических систем.
Аналитические методы исследования динамических систем
Различные варианты понятия интегрируемой динамической системы, примеры интегрируемых динамических систем. Понятия первого интеграла, интегрирующего множителя, множителя Якоби для динамической системы. Понятия алгебраической интегрируемости динамической системы, интегрируемости по Лаксу, интегрируемости по Пенлеве, интегрируемой гамильтоновой системы.

Элементы контроля

Домашнее задание № 1
Домашнее задание № 2
Экзамен
Экзамен проводится в письменной форме с использованием платформы Zoom или MS Teams. К экзамену необходимо подключиться за 10 минут до начала экзамена, чтобы протестировать связь, видео, звук и возможность демонстрировать экран. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка Zoom или S Teams. Для участия в экзамене студент обязан: явиться на экзамен за 10 минут до начала, при ответе включить камеру и микрофон. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи менее двух минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение две минуты и более.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.25 * Домашнее задание № 1 + 0.25 * Домашнее задание № 2 + 0.5 * Экзамен

Программа дисциплины