• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Версия для слабовидящихЛичный кабинет сотрудника ВШЭПоиск
Бакалавриат 2020/2021

Введение в качественную и аналитическую теорию нелинейных динамических систем

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика)
Направление: 01.03.04. Прикладная математика
Когда читается: 3-й курс, 3 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для своего кампуса
Язык: русский
Кредиты: 4

Программа дисциплины

Аннотация

В курсе рассматриваются основы как качественной, так и аналитической теории динамических систем. В первой части курса предполагается рассмотреть одномерные динамические системы с дискетным временем или одномерные отображения и одномерные, двумерные и трехмерные динамические системы. На примере данных систем будут обсуждаться основы теории бифуркаций динамических систем, понятие динамического хаоса и ряд сценариев перехода от регулярной к хаотической динамике. Также будет введено понятие устойчивости по Ляпунову траектории динамической системы и методы численной оценки показателей Ляпунова для отображений и динамических систем. Предполагается рассмотреть и исследовать с помощью обсуждаемых подходов несколько математических моделей, используемых для описания процессов и явлений в биологии, механике, химии и других разделах науки. В рамках второй части курса предполагается рассмотреть основные аспекты, связанные с интегрируемостью динамических систем. Предполагается обсудить алгебраические и аналитические подходы и кратко остановится на понятии интегрируемой Гамильтоновой системы. Будут обсуждаться понятия первого интеграла, интегрирующего множителя и множителя Якоби, алгебраическая интегрируемость, представление Лакса. В рамках аналитического подхода будет рассмотрен метод Пенлеве. Предполагается иллюстрировать рассматриваемые методы на динамических системах, имеющих приложения в различных разделах науки.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Ознакомление студентов с основными понятиями и методами качественной и аналитической теорий нелинейных динамических систем.
  • Ознакомление студентов с применением качественных и аналитических подходов для исследования динамических систем, встречающихся в различных приложениях.
  • Формирования у студентов навыков использования современного программного обеспечения при решении прикладных задач методами качественной и аналитической теории динамических систем.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Студент должен знать: основные методы и подходы качественной теории динамических систем.
  • Студент должен иметь навыки использования методов качественно теории динамических систем для решения прикладных задач.
  • Студент должен уметь: проводить классификацию неподвижных точек динамической системы; строить фазовые портреты, сечения Пуанкаре и бифуркационные диаграммы для динамической системы.
  • Студент должен знать основные понятия и методы аналитической теории динамических систем.
  • Студент должен иметь навыки использования методов аналитической теории динамических систем для решения прикладных задач.
  • Студент должен уметь: использовать определения первого интеграла, интегрирующего множителя и множителя Якоби для их поиска; проверять выполнение необходимых условий теста на свойство Пенлеве.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Качественные методы исследования динамических систем
    Одномерные динамические системы с дискретным временем или одномерные отображения. Одномерные, двумерные и трехмерные динамические системы. Основы теории бифуркаций динамических систем, понятие динамического хаоса, сценарии перехода от регулярной к хаотической динамике. Устойчивости по Ляпунову траектории динамической системы, методы численной оценки показателей Ляпунова для отображений и динамических систем.
  • Аналитические методы исследования динамических систем
    Различные варианты понятия интегрируемой динамической системы, примеры интегрируемых динамических систем. Понятия первого интеграла, интегрирующего множителя, множителя Якоби для динамической системы. Понятия алгебраической интегрируемости динамической системы, интегрируемости по Лаксу, интегрируемости по Пенлеве, интегрируемой гамильтоновой системы.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашнее задание № 1
  • неблокирующий Домашнее задание № 2
  • неблокирующий Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    0.25 * Домашнее задание № 1 + 0.25 * Домашнее задание № 2 + 0.5 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Арнольд В.И. - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Московский центр непрерывного математического образования - 2012 - 341с. - ISBN: 978-5-4439-2007-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/56392
  • Дифференциальные и разностные уравнения : какие явления они описывают и как их решать: учеб. пособия для вузов, Гордин В. А., 2016
  • Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. - ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В 2 Ч. ЧАСТЬ 1 2-е изд., испр. и доп. Справочник для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 385с. - ISBN: 978-5-534-02685-6 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/obyknovennye-differencialnye-uravneniya-v-2-ch-chast-1-437081
  • Обыкновенные дифференциальные уравнения и система Maple: Учебное пособие / Егоров А.И. - М.:СОЛОН-Пр., 2016. - 392 с.: ISBN 978-5-91359-205-7
  • Обыкновенные дифференциальные уравнения, Айнс Э. Л., Эфроса А. М., 2005

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Егоров А.И. - Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями - Издательство "Физматлит" - 2007 - 448с. - ISBN: 978-5-9221-0785-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/59460
  • Качественная теория дифференциальных уравнений, Немыцкий В. В., Степанов В. В., 1947
  • Качественная теория дифференциальных уравнений, Немыцкий В. В., Степанов В. В., 2004
  • Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями, Эрроусмит Д., Плейс К., 1986