• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2020/2021

Матричные вычисления

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика
Когда читается: 3-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Преподаватели: Высоцкий Лев Игоревич, Рахуба Максим Владимирович
Язык: русский
Кредиты: 5
Контактные часы: 60

Программа дисциплины

Аннотация

Данный курс посвящен прикладным аспектам работы с матрицами и является естественным продолжением классического курса линейной алгебры, который читается на первом году обучения. В рамках курса рассматриваются как теоретические, так и практические стороны малорангового приближения матриц, решения систем линейных уравнений и задачи наименьших квадратов, а также решения задачи на собственные значения. Особое внимание уделяется использованию изученных алгоритмов в современных прикладных задачах. Часть домашних заданий предполагает программирование на языке Python.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Знать основные матричные разложения и область их применения
  • Знать основные пакеты программ линейной алгебры
  • Получить навык реализации алгоритмов вычислительной линейной алгебры на языке Python
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Уметь эффективно решать линейные системы и задачу на собственные значения с большими разреженными и структурированными матрицами.
  • Иметь представление о тензорных разложениях.
  • Уметь оценивать сложность алгоритмов линейной алгебры.
  • Знать основные алгоритмы решения задачи наименьших квадратов.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Некоторые понятия матричного анализа
    Матричные нормы. Сохранение длин и унитарные матрицы. Разложение Шура. Нормальные матрицы. Матричные функции.
  • Малоранговое приближение матриц
    Скелетное разложение матриц. Сингулярное разложение (SVD) и его основные свойства. Приближение матрицей меньшего ранга. CUR разложение. Приложения сингулярного разложения. Интерпретируемость CUR разложения и его приложения.
  • Малоранговое приближение многомерных массивов
    Кронекерово и тензорное произведения. Каноническое разложение многомерных массивов. Разложение Таккера. Higher-order SVD (HOSVD). Приложения.
  • Вычислительные аспекты линейной алгебры
    Представление чисел в компьютере. Обусловленность и вычислительная устойчивость. Вычисление произведения матриц. Матрицы со специальной структурой: разреженные, тёплицевы матрицы, циркулянты, матрица Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Пакеты программ для решения задач линейной алгебры.
  • Метод наименьших квадратов
    QR разложение и способы его вычисления. Использование QR разложения для метода наименьших квадратов (МНК). Псевдообратная матрица. Использование SVD разложения для МНК. Линейная регрессия. L1- и L2-регуляризации.
  • Прямые методы решения систем линейных уравнений
    Теория возмущений и число обусловленности матрицы. LU разложение, его связь с методом Гаусса. Ошибки округления и выбор ведущего элемента. Разложение Холецкого. Прямые методы решения больших разреженных систем линейных уравнений.
  • Итерационные методы решения систем линейных уравнений
    Метод простой итерации. Метод наискорейшего спуска и его недостатки. Метод итераций Чебышева. Подпространства Крылова. Метод сопряженных градиентов. Метод обобщенных минимальных невязок (GMRES). Предобуславливание.
  • Задача на собственные значения
    Степенной метод и обратная итерация. Их применения для анализа графов. Метод Ланцоша. QR алгоритм и его модификации. Методы вычисления сингулярного разложения.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашние задания (x6)
  • неблокирующий Бонусные задачи в ДЗ
  • неблокирующий Самостоятельная работа
  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    Итог = Округление(min(10, 0.4 * ДЗ + 0.1 * Б + 0.1 * ПР + 0.2 * КР + 0.3 * Э)), ДЗ –– средняя оценка за домашние задания Б –– средняя оценка за бонусные задачи в ДЗ ПР — средняя оценка за самостоятельные работы на семинарах КР –– оценка за контрольную работу (проводится в первой половине 2-го модуля) Э –– письменный экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Методы численного анализа : учеб. пособие для вузов, Тыртышников, Е. Е., 2007

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Вычислительная линейная алгебра : теория и приложения, Деммель, Дж., 2001