• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Магистратура 2020/2021

Стохастические методы в инженерных приложениях

Направление: 01.04.04. Прикладная математика
Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Прогр. обучения: Суперкомпьютерное моделирование в науке и инженерии
Язык: русский
Кредиты: 4

Программа дисциплины

Аннотация

В данном курсе магистранты будут ознакомлены с примерами стохастических моделей для современных приложений, с классическими и современными подходами к построению и анализу математических моделей, прототипы которых подвержены воздействию случайных факторов.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Ознакомление магистрантов с классическими и современными подходами к построению и анализу математических моделей, прототипы которых подвержены воздействию случайных факторов.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знание основных понятий теории случайных процессов
  • Умение вычислять основные показатели надежности систем
  • Умение анализировать стохастические модели
  • Приобретение навыков построения стохастических моделей и определения их основных характеристик
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Примеры стохастических моделей для современных приложений. Общее понятие случайного процесса.
    Примеры построения простейших стохастических моделей в информатике, физике, экономике, а также для решения различных задач теории надежности, распознавания сигналов, анализа социальных явлений, демографии. Аксиоматика Колмогорова теории вероятностей. Случайные величины. Совокупности процессы с дискретным и непрерывным временем. Траектории. Функция среднего и корреляционная функция. Конечномерные распределения случайного процесса. Условия согласованности. Понятие о случайных полях.
  • Основные примеры случайных процессов и особенности их использования в стохастическом моделировании.
    Случайные блуждания. Ветвящийся процесс Гальтона Ватсона, задача о вырождении популяции. Пуассоновский, винеровский процессы. Процесс Орнштейна-Уленбека. Телеграфный процесс. Процессы с независимыми приращениями.
  • Методы гармонического анализа в стохастических моделях.
    Характеристические функции случайных величин и случайных векторов как преобразования Фурье вероятностных распределений. Их общие свойства. Вид характеристических функций основных распределений. Формулы обращения. Условия согласованности семейства конечномерных распределений в терминах характеристических функций. Характеристические функции и наборы независимых случайных величин. Сходимость по распределению. Теорема Леви о сходимости. Применение для доказательства предельных теорем. Центральная предельная теорема и законы больших чисел. Сходимость по вероятности и сходимость почти наверное. Понятие о процессах Леви.
  • Гауссовские системы и гауссовские процессы
    Многомерное нормальное распределение, его характеристическая функция. Условие невырожденности, вид плотности. Замкнутость класса гауссовских векторов при линейных отображениях и предельных переходах случайных величин и случайных векторов. Условное математическое ожидание и условные распределения. Их вычисление для гауссовских систем. Гауссовские процессы, примеры. Процесс броуновского моста.
  • Стационарность и её роль в задачах стохастического моделирования
    Случайные процессы стационарные в узком и широком смыслах. Соотношение между этими классами. Случай гауссовских процессов. Дискретный белый шум. Сходимость и непрерывность в среднем квадратичном. Интеграл Римана от стационарного процесса. Стационарные в широком смысле процессы как спирали в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых случайных величин. Интеграл Стилтьеса. Спектральные представления для корреляционных функций. Спектральная мера стационарного процесса и спектральная плотность. Линейные преобразования стационарных процессов. Спектральное представление стационарного в широком смысле процесса в виде интеграла Фурье по ортогональной случайной мере. Примеры дифференциальных уравнений со случайностями.
  • Методы теории восстановления
    Понятие о процессах восстановления. Альтернирующие процессы восстановления. Функция восстановления. Производящая функция. Применение преобразования Лапласа. Узловая теорема восстановления. Примеры.
  • Методы теории марковских процессов
    Марковские цепи с дискретным и непрерывным временем. Классификация. Стационарные распределения. Поглощающие состояния. Связь с теорией Перрона-Фробениуса. Процессы рождения-гибели и их приложения к теории массового обслуживания. Понятие о сетях с очередями. Броуновское движение как марковский процесс. Марковские полугруппы. Понятие о генераторе марковской полугруппы. Уравнения Колмогорова.
  • Стохастические методы для финансовой инженерии
    Понятие о стохастическом интеграле Ито. Примеры вычисления. Стохастические дифференциальные уравнения. Простейшие модели финансовой математики.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Самостоятельная работа
  • неблокирующий Аудиторная работа
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.6 * Аудиторная работа + 0.4 * Самостоятельная работа
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Основы теории случайных процессов, Карлин, С., Калашникова, В. В., 1971
  • Теория случайных процессов в примерах и задачах, Миллер, Б. М., Панков, А. Р., 2007
  • Теория случайных процессов и ее инженерные приложения : учеб. пособие для вузов, Вентцель, Е. С., Овчаров, Л. А., 2000
  • Элементы теории случайных процессов : учеб. пособие, Каштанов, В. А., 2010

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Введение в теорию массового обслуживания, Гнеденко, Б. В., Коваленко, И. Н., 2011
  • Курс теории случайных процессов : учеб. пособие для мех.- мат. фак-тов ун-тов, Вентцель, А. Д., 1975
  • Теория надежности сложных систем : учеб. пособие, Каштанов, В. А., Медведев, А. И., 2010
  • Теория надежности сложных систем (теория и практика), Каштанов, В. А., Медведев, А. И., 2002