Бакалавриат
2020/2021
Математика. Лиценциат
Статус:
Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
4-й курс, 1 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Преподаватели:
Ященко Иван Валериевич
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
32
Программа дисциплины
Аннотация
Целями освоения дисциплины «Математика. Лиценциат» являются систематизация и закрепление у студентов фундаментальных знаний по основным обязательным математиче-ским дисциплинам, изучаемых в рамках данной образовательной программы (математический анализ, алгебра, геометрия, дискретная математика, дифференциальные уравнения, топология, теория функций комплексного переменного, теория вероятностей).
Цель освоения дисциплины
- Систематизация и закрепление у студентов фундаментальных знаний по основным обязательным математическим дисциплинам.
Планируемые результаты обучения
- В результате освоения дисциплины студент должен углубить и систематизировать имеющиеся знания ключевых понятий и результатов основных обязательных математических курсов и имеющиеся между ними взаимосвязи.
Содержание учебной дисциплины
- Элементы математического анализаЧисловые последовательности, пределы и предельные точки, критерий Коши сходимо-сти последовательности. Предел функции, непрерывность, теорема о промежуточном значении непрерывной функции, равномерная непрерывность непрерывной функции на отрезке. Сходимость числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов (сходимость абсо-лютно сходящегося ряда, перестановка членов). Признаки сходимости Д’Аламбера и Коши. Условно сходящиеся ряды. Примеры условно сходящихся рядов. Дифференцируемые функции одного переменного. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа о конечном прираще-нии. Частные производные функции нескольких переменных. Производная (дифференциал) отображения из Rm в Rn. Теорема о производной сложной функции. Теорема о неявной функции для отображения из Rm в Rn. Теорема об обратной функции. Производная неявной и обратной функции. Интеграл Римана функции на отрезке и его основные свойства. Формула Ньютона—Лейбница и существование первообразной для непрерывной функции. Формула Тейлора для функции одного переменного. Формы остаточного члена. Экстремумы и выпуклость функций одного переменного. Исследование функции на экстремумы и выпуклость с помощью производных. Экстремумы функций нескольких переменных, условные экстремумы, множители Ла-гранжа. Интеграл Римана по n-мерному промежутку. Сведение кратного интеграла от непре-рывной функции к повторному. Криволинейные интегралы. Вычисление длин кривых и работы силы по криволиней-ному пути. Формула Грина. Конструкция интеграла Лебега на пространстве с конечной σ-аддитивной мерой. Функциональные последовательности и ряды, равномерная сходимость, непрерывность предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. Несобственные интегралы, признаки сходимости несобственных интегралов.
- Элементы алгебры и геометрии (обзор понятий и результатов)Аффинные пространства, аффинные отображения. Задание аффинного отображения n-мерного аффинного пространства образами n + 1 точки. Проективные пространства, проективные отображения. Задание проективного отобра-жения n-мерного проективного пространства образами n + 2 точек. Кривые второго порядка в R2 и C2, их аффинная и проективная классификации. Векторные пространства и линейные отображения, базисы, размерность, теорема о ран-ге матрицы. Определитель матрицы и его свойства. Разложение по строке и столбцу. Определитель произведения матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Формулы Крамера. Характеристический и минимальный многочлены линейного оператора, теорема Га-мильтона—Кэли. Корневые подпространства линейного оператора, жорданова нормальная форма. Квадратичные и билинейные формы, положительная определенность, закон инерции. Евклидовы линейные пространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогонализация Грама—Шмидта. Вещественные самосопряженные операторы, их диагонализуемость. Приведение квад-ратичной формы к главным осям. Группы, подгруппы, смежные классы, формула Лагранжа для числа смежных классов. Гомоморфизмы групп, нормальные подгруппы, факторгруппы. Теорема о гомоморфиз-мах групп. Классификация конечнопорожденных абелевых групп. Свободные абелевы группы конечного ранга и их подгруппы. Коммутативные кольца. Примеры колец. Кольца вычетов. Малая теорема Ферма. Евклидовы кольца. Примеры. Неприводимые элементы, делимость. Наибольший общий делитель. Факториальность евклидовых колец. Конечные поля. Примеры. Цикличность мультипликативной группы конечного поля.
- Дискретная математика (обзор понятий и результатов)Сочетания, сочетания с повторениями, перестановки, биномиальные коэффициенты. Тождества с биномиальными коэффициентами. Производящие функции. Линейные рекуррентные соотношения и рациональные произ-водящие функции. Формула Бине для чисел Фибоначчи.
- Элементы теории дифференциальных уравнений (обзор понятий и результатов)Понятие обыкновенного дифференциального уравнения и его решения. Задача Коши и теорема о существовании и единственности ее решения. Приближение решения задачи Коши итерациями Пикара. Методы решения дифференциальных уравнений: решение уравнений с разделяющимися переменными, метод вариации постоянных для линейных неоднородных уравнения первого порядка, однородные уравнения. Решение обыкновенных дифференциальных линейных однородных и неоднородных уравнений n-го порядка и линейных систем первого порядка с постоянными коэффици-ентами. Квазимногочлены. Матричная экспонента и ее применение.
- Теория функций комплексного переменного (обзор понятий и результатов)Комплексная производная, голоморфные функции, условия Коши—Римана. Примеры голоморфных функций. Голоморфность элементарных функций. Теорема Коши об интеграле голоморфной функции по замкнутому контуру. Интеграль-ная формула Коши. Область сходимости степенного ряда с комплексными коэффициентами. Разложение функции, голоморфной в круге, в ряд Тейлора. Интегральная формула для коэффициен-тов ряда Тейлора. Разложение функции, голоморфной в кольце, в ряд Лорана. Область сходимости ряда Лорана. Единственность лорановского разложения. Классификация изолированных особых точек голоморфных функций. Вычеты. Теорема Коши о вычетах. Вычеты и коэффициенты ряда Лорана.
- Топология (обзор понятий и результатов)Открытые и замкнутые подмножества Rn, внутренность и замыкание. Описание откры-тых подмножеств R. Непрерывные отображения из Rn в Rm. Топологические пространства. Компактность, критерий компактности подмножества Rn. Связность и линейная связность топологического пространства. Связность отрезка. Пример связного не линейно связного множества. Гомотопия отображений. Стягиваемость выпуклых множеств. Фундаментальная группа топологического пространства. Ее вычисление для окружно-сти S1 и сферы S2.
- Теория вероятностей (обзор понятий и результатов)Вероятностное пространство. Условная вероятность, формулы полной вероятности и Байеса. Независимость событий. Случайные величины. Функция распределения, плот-ность. Дискретные и непрерывные случайные величины. Математическое ожидание. Дисперсия. Случайные векторы (наборы случайных величин). Совместные функция распределения и плотность нескольких случайных величин. Независимость случайных величин, её вы-ражение в терминах совместной функции распределения и совместной плотности. Ко-вариация и коэффициент корреляции. Некоррелированность независимых величин. Виды сходимости последовательностей случайных величин: почти наверное, по вероятности, по распределению. Закон больших чисел. Усиленный закон больших чисел. Характеристические функции. Выражение сходимости по распределению в терминах характеристических функций. Центральная предельная теорема.
Элементы контроля
- Устный экзамен два теоретических вопроса
- Устный экзамен решение одной задачи из заранее выдаваемого списка
- Устный экзамен два теоретических вопроса
- Устный экзамен решение одной задачи из заранее выдаваемого списка
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (1 модуль)Итоговый контроль проводится в форме устного экзамена перед комиссией из нескольких сотрудников факультета. Студент должен изложить у доски ответы на два теоретических вопроса и решение одной задачи из заранее выдаваемого списка. Также студенту задаётся несколько коротких дополнительных вопросов, покрывающих (вместе с уже рассказанными основными вопросами и задачей) все разделы курса. Перечень вопросов и примеры задач к экзамену ежегодно утверждается академическим советом программы. При выставлении оценки следует пользоваться следующими примерными критериями. Каждый из пунктов (теор. вопросов и задача) оценивается от 0 до 4 баллов. Оценка «4» соответствует верному ответу, «3» — небольшим недочётам, «2» — существенным пробелам в ответе, «1» — лишь незначительному продвижению, «0» —неверному ответу или его отсутствию. Оценка за экзамен получается вычитанием 2 из суммы баллов, набранных за три пункта билета.
