Линейная алгебра

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Бизнес-информатика)

Направление: 38.03.05. Бизнес-информатика

Когда читается: 1-й курс, 1-3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Абрамова Елена Владимировна, Базенков Николай Ильич, Горелов Алексей Анатольевич, Коданева Надежда Михайловна, Самойлова Ирина Александровна, Швыдун Сергей Владимирович, Широков Дмитрий Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 76

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Данная дисциплина знакомит студентов с основами линейной алгебры, аналитической геометрии и общей алгебры. Целью освоения дисциплины является формирование у студентов навыков использования методов алгебры для решения прикладных задач в экономике и менеджменте. Полученные знания потребуются студентам для освоения других прикладных и теоретических дисциплин, в которых используются векторные, матричные и операторные величины.

Цель освоения дисциплины

ознакомление студентов с основами линейной алгебры, аналитической геометрии и общей алгебры
формирование у студентов навыков использования методов алгебры для формализации и решения прикладных задач, в том числе, в экономике и менеджменте

Планируемые результаты обучения

производить основные операции с матрицами, вычислять определитель
находить обратную матрицу, решать матричные уравнения
находить размерность и базис линейного пространства, координаты вектора в другом базисе
решать системы линейных алгебраических уравнений, находить ранг матрицы
приводить квадратичную форму к каноническому виду, исследовать ее на знакоопределенность
приводить матрицу линейного оператора к диагональному виду
производить основные операции с векторами, решать задачи на взаимное расположение прямых и плоскостей
решать задачу линейного программирования
производить с комплексными числами основные арифметические операции

Содержание учебной дисциплины

Матрицы и определители
Матрицы и операции над матрицами. Элементарные преобразования строк матрицы, эквивалентные матрицы. Ступенчатый вид матрицы, приведение к ступенчатому виду. Перестановки и подстановки. Определитель квадратной матрицы и его свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Определитель произведения матриц. Примеры: матричная форма записи данных в задачах экономики и менеджмента; технологическая матрица; модель Леонтьева, модель Тинбергена.
Обратные матрицы и матричные уравнения
Обратная матрица к квадратной матрице. Критерий обратимости. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы и с помощью элементарных преобразований строк. Решение матричных уравнений. Метод Крамера. Примеры: нахождение вектора выпуска товара по матрице прямых затрат и вектору конечного потребления; нахождение валового выпуска отрасли методом Крамера в модели Леонтьева.
Линейные пространства
Линейное пространство над полем вещественных чисел. Арифметическое линейное пространство n-мерных векторов. Линейное подпространство. Линейная зависимость и независимость, базис, координаты. Размерность линейного пространства. Матрица перехода от базиса к базису, связь координат вектора в разных базисах. Линейная оболочка векторов. Сумма и пересечение линейных подпространств, прямая сумма подпространств. Примеры: векторная форма записи данных в экономике и менеджменте, индексы потребительских цен Ласпейреса и Пааше; оценка инфляции.
Ранг матрицы и системы линейных уравнений
Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований и методом окаймляющих миноров. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы. Ранг произведения матриц. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Частные и общие решения. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений однородной системы. Главные (базисные) и свободные переменные. Метод Гаусса. Примеры: задачи экономики и менеджмента, сводящиеся к решению линейных систем; модель Тинбергена; рыночное равновесие.
Линейные операторы и квадратичные формы
Линейный оператор. Матрица линейного оператора и ее преобразование при замене базиса. Образ и ядро линейного оператора. Собственные числа и собственные векторы. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Билинейные и квадратичные формы, их матрицы и их преобразование при замене базиса. Канонический и нормальный вид квадратичной формы, индексы инерции, закон инерции. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра. Жорданова форма матрицы, присоединенные векторы. Возведение матрицы в степень и извлечение корня. Примеры: матрицы “затраты–выпуск”; продуктивность линейной модели Леонтьева, использование квадратичных форм в задачах оптимизации.
Элементы аналитической геометрии, евклидовы пространства
Векторы, операции с ними. Скалярное, векторное и смешанное произведения. Уравнения прямых и плоскостей. Задачи взаимное расположение объектов, нахождение расстояний, углов, площадей, объемов. Кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола). Вывод их уравнений и описание простейших свойств. Упрощение уравнений кривых второго порядка. Скалярное произведение в линейном пространстве. Матрица Грама. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора. Примеры: векторная форма записи данных в экономике и менеджменте; кривые спроса и предложения; метод наименьших квадратов в задачах эконометрики.
Комплексные числа
Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Модуль и аргумент. Геометрическая интерпретация. Операции над комплексными числами. Формула Муавра. Формула Эйлера. Показательная форма записи. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа. Геометрические свойства корней из комплексного числа. Решение квадратных уравнений.
Элементы линейного программирования
Задача линейного программирования. Понятие о симплекс-методе. Двойственная задача линейного программирования. Примеры: задача о распределении ресурсов, теневые цены ресурсов, задача об оптимальной стратегии, игра с нулевой суммой.

Элементы контроля

контрольная работа 1
Письменная контрольная работа, 8 заданий, время написания 120 минут. При удаленном написании работы, преподаватель имеет право провести дополнительную беседу со студентом по материалу написанной работы перед выставлением оценки за работу.
контрольная работа 2
Письменная контрольная работа, 8 заданий, время написания 120 минут. Дистанционно (на платформе Examus, с прокторингом). При удаленном написании работы, преподаватель имеет право провести дополнительную беседу со студентом по материалу написанной работы перед выставлением оценки за работу.
письменный экзамен
Письменная экзаменационная работа, 6 заданий, время написания 120 минут. Работа проходит в режиме оффлайн. Для тех студентов, которые не имеют возможности писать работу оффлайн, работа проводится в режиме онлайн (на платформе Zoom). При написании работы в режиме онлайн, преподаватель имеет право провести дополнительную беседу со студентом по материалу написанной работы перед выставлением оценки за работу.
контрольное домашнее задание
Письменная домашняя работа, 4 задания.
аудиторная работа

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.06 * аудиторная работа + 0.18 * контрольная работа 1 + 0.18 * контрольная работа 2 + 0.08 * контрольное домашнее задание + 0.5 * письменный экзамен

Программа дисциплины