• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2020/2021

Линейная алгебра

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Курс обязательный (Бизнес-информатика)
Направление: 38.03.05. Бизнес-информатика
Когда читается: 1-й курс, 1-3 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Преподаватели: Абрамова Елена Владимировна, Базенков Николай Ильич, Горелов Алексей Анатольевич, Коданева Надежда Михайловна, Самойлова Ирина Александровна, Швыдун Сергей Владимирович, Широков Дмитрий Сергеевич
Язык: русский
Кредиты: 5
Контактные часы: 76

Программа дисциплины

Аннотация

Данная дисциплина знакомит студентов с основами линейной алгебры, аналитической геометрии и общей алгебры. Целью освоения дисциплины является формирование у студентов навыков использования методов алгебры для решения прикладных задач в экономике и менеджменте. Полученные знания потребуются студентам для освоения других прикладных и теоретических дисциплин, в которых используются векторные, матричные и операторные величины.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • ознакомление студентов с основами линейной алгебры, аналитической геометрии и общей алгебры
  • формирование у студентов навыков использования методов алгебры для формализации и решения прикладных задач, в том числе, в экономике и менеджменте
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • производить основные операции с матрицами, вычислять определитель
  • находить обратную матрицу, решать матричные уравнения
  • находить размерность и базис линейного пространства, координаты вектора в другом базисе
  • решать системы линейных алгебраических уравнений, находить ранг матрицы
  • приводить квадратичную форму к каноническому виду, исследовать ее на знакоопределенность
  • приводить матрицу линейного оператора к диагональному виду
  • производить основные операции с векторами, решать задачи на взаимное расположение прямых и плоскостей
  • решать задачу линейного программирования
  • производить с комплексными числами основные арифметические операции
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Матрицы и определители
    Матрицы и операции над матрицами. Элементарные преобразования строк матрицы, эквивалентные матрицы. Ступенчатый вид матрицы, приведение к ступенчатому виду. Перестановки и подстановки. Определитель квадратной матрицы и его свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Определитель произведения матриц. Примеры: матричная форма записи данных в задачах экономики и менеджмента; технологическая матрица; модель Леонтьева, модель Тинбергена.
  • Обратные матрицы и матричные уравнения
    Обратная матрица к квадратной матрице. Критерий обратимости. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы и с помощью элементарных преобразований строк. Решение матричных уравнений. Метод Крамера. Примеры: нахождение вектора выпуска товара по матрице прямых затрат и вектору конечного потребления; нахождение валового выпуска отрасли методом Крамера в модели Леонтьева.
  • Линейные пространства
    Линейное пространство над полем вещественных чисел. Арифметическое линейное пространство n-мерных векторов. Линейное подпространство. Линейная зависимость и независимость, базис, координаты. Размерность линейного пространства. Матрица перехода от базиса к базису, связь координат вектора в разных базисах. Линейная оболочка векторов. Сумма и пересечение линейных подпространств, прямая сумма подпространств. Примеры: векторная форма записи данных в экономике и менеджменте, индексы потребительских цен Ласпейреса и Пааше; оценка инфляции.
  • Ранг матрицы и системы линейных уравнений
    Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований и методом окаймляющих миноров. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы. Ранг произведения матриц. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Частные и общие решения. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений однородной системы. Главные (базисные) и свободные переменные. Метод Гаусса. Примеры: задачи экономики и менеджмента, сводящиеся к решению линейных систем; модель Тинбергена; рыночное равновесие.
  • Линейные операторы и квадратичные формы
    Линейный оператор. Матрица линейного оператора и ее преобразование при замене базиса. Образ и ядро линейного оператора. Собственные числа и собственные векторы. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Билинейные и квадратичные формы, их матрицы и их преобразование при замене базиса. Канонический и нормальный вид квадратичной формы, индексы инерции, закон инерции. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра. Жорданова форма матрицы, присоединенные векторы. Возведение матрицы в степень и извлечение корня. Примеры: матрицы “затраты–выпуск”; продуктивность линейной модели Леонтьева, использование квадратичных форм в задачах оптимизации.
  • Элементы аналитической геометрии, евклидовы пространства
    Векторы, операции с ними. Скалярное, векторное и смешанное произведения. Уравнения прямых и плоскостей. Задачи взаимное расположение объектов, нахождение расстояний, углов, площадей, объемов. Кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола). Вывод их уравнений и описание простейших свойств. Упрощение уравнений кривых второго порядка. Скалярное произведение в линейном пространстве. Матрица Грама. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора. Примеры: векторная форма записи данных в экономике и менеджменте; кривые спроса и предложения; метод наименьших квадратов в задачах эконометрики.
  • Комплексные числа
    Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Модуль и аргумент. Геометрическая интерпретация. Операции над комплексными числами. Формула Муавра. Формула Эйлера. Показательная форма записи. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа. Геометрические свойства корней из комплексного числа. Решение квадратных уравнений.
  • Элементы линейного программирования
    Задача линейного программирования. Понятие о симплекс-методе. Двойственная задача линейного программирования. Примеры: задача о распределении ресурсов, теневые цены ресурсов, задача об оптимальной стратегии, игра с нулевой суммой.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий контрольная работа 1
    Письменная контрольная работа, 8 заданий, время написания 120 минут. При удаленном написании работы, преподаватель имеет право провести дополнительную беседу со студентом по материалу написанной работы перед выставлением оценки за работу.
  • неблокирующий контрольная работа 2
    Письменная контрольная работа, 8 заданий, время написания 120 минут. Дистанционно (на платформе Examus, с прокторингом). При удаленном написании работы, преподаватель имеет право провести дополнительную беседу со студентом по материалу написанной работы перед выставлением оценки за работу.
  • неблокирующий письменный экзамен
    Письменная экзаменационная работа, 6 заданий, время написания 120 минут. Работа проходит в режиме оффлайн. Для тех студентов, которые не имеют возможности писать работу оффлайн, работа проводится в режиме онлайн (на платформе Zoom). При написании работы в режиме онлайн, преподаватель имеет право провести дополнительную беседу со студентом по материалу написанной работы перед выставлением оценки за работу.
  • неблокирующий контрольное домашнее задание
    Письменная домашняя работа, 4 задания.
  • неблокирующий аудиторная работа
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    0.06 * аудиторная работа + 0.18 * контрольная работа 1 + 0.18 * контрольная работа 2 + 0.08 * контрольное домашнее задание + 0.5 * письменный экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Бурмистрова Е. Б., Лобанов С. Г. - ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 421с. - ISBN: 978-5-9916-3588-2 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/lineynaya-algebra-425852
  • Проскуряков И.В. - Сборник задач по линейной алгебре: учебное пособие - Издательство "Лань" - 2019 - 476с. - ISBN: 978-5-8114-4044-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/114701

Рекомендуемая дополнительная литература

  • F. Aleskerov, H. Ersel, D. Piontkovski. Linear Algebra for Economists. Springer, 2011
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. - Аналитическая геометрия - Издательство "Физматлит" - 2009 - 224с. - ISBN: 978-5-9221-0511-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2179
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. - Линейная алгебра. - Издательство "Физматлит" - 2007 - 280с. - ISBN: 978-5-9221-0481-4 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2178
  • Шафаревич, И. Р. Линейная алгебра и геометрия [Электронный ресурс] / И. Р. Шафаревич, А. О. Ремизов. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 512 с. - ISBN 978-5-9221-1139-3.