• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Специалитет 2021/2022

Алгебра

Статус: Курс обязательный (Компьютерная безопасность)
Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для своего кампуса
Специальность: 10.05.01. Компьютерная безопасность
Язык: русский
Кредиты: 3
Контактные часы: 56

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественно-научных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку. Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: школьными знаниями и компетенциями, основными понятиями линейной алгебры и теории множеств. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: криптографические методы защиты информации, криптографические протоколы, теоретико-числовые методы в криптографии.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Знакомство с понятиями линейной алгебры как основы значительной части математического аппарата дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории вероятностей, математической статистики и других дисциплин.
  • Применение соответствующего математического аппарата для формализации, анализа и решения проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности
  • Освоение основных приемов решения практических задач по темам дисциплины;
  • Решение систем линейных уравнений над полем и кольцом вычетов
  • Проведение эффективных вычислений в кольцах вычетов и кольцах многочленов
  • Развитие способности интерпретации формальных алгебраических структур, развитие четкого логического мышления
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знание базовых понятий дисциплины
  • Знание методов оценки периодов многочленов над конечным полем
  • Знание методов построения примитивных элементов конечного поля
  • Знание методов решения линейных и квадратных уравнений над кольцами вычетов
  • Знание основных определений, понятий и свойств конечных групп, колец и полей
  • Знание свойств конечных полей и их подполей
  • Знание строения поля разложения для неприводимого многочлена над конечным полем
  • Знание условий и методов разложения конечных групп и колец вычетов в прямую сумму
  • Знание формулировок китайской теоремы об остатках для чисел и многочленов
  • Навыки использования математического аппарата дисциплины в дальнейшей учебной и профессиональной деятельности
  • Понимание доказательств ключевых теорем курса
  • Приобретение опыта вычисления периода многочленов над конечным полем
  • Приобретение опыта нахождения корней многочленов в конечном поле
  • Приобретение опыта проведения вычислений в числовых и конечных группах, кольцах вычетов и полях
  • Умение востанавливать изоморфизм заданного кольца вычетов с прямой суммой колец вычетов
  • Умение вычислять периоды многочленов над конечным полем
  • Умение находить число решений (и сами решения) линейных и квадратных уравнений над кольцами вычетов
  • Умение проводить вычисления в числовых и конечных группах, кольцах вычетов и полях
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Алгебра матриц
  • Группа, подгруппа, нормальный делитель, факторгруппа. Примеры на основе групп (Z,+), (Zn,+), (Zn*,∙), Sn.
  • Системы линейных алгебраических уравнений. Линейное пространство Rn
  • Порядок элемента группы, циклическая группа, описание множества образующих элементов циклической группы (Zn,+).
  • Линейное пространство Rn
  • Гомоморфизм групп, ядро гомоморфизма. Примеры на основе групп (Z,+), (Zn,+), (Zn*,∙), Sn.
  • Определители
  • Характеры групп
  • Вещественные евклидовы пространства
  • Внешнее и внутреннее прямое произведение (сумма) групп. Примеры на основе групп (Z,+), (Zn,+), (Zn*,∙), Sn.
  • Поле комплексных чисел и кольцо многочленов
  • Кольцо, подкольцо, идеал, фактор-кольцо. Примеры на основе колец Z, Zn, F[x], F[x]/f(x).
  • Линейные пространства над полем
  • Характеристика кольца, делители нуля, обратимые элементы. Примеры на основе колец Z, Zn, F[x], F[x]/f(x).
  • Линейные отображения и линейные операторы
  • Гомоморфизм и изоморфизм колец. Примеры на основе колец Z, Zn, F[x], F[x]/f(x).
  • Комплексные евклидовы пространства
  • Кольцо многочленов F[x] над полем F
  • Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах
  • Кольцо многочленов F[x]/f(x) над полем F по модулю заданного многочлена f(x), критерий отсутствия в данном кольце делителей нуля.
  • Билинейные и квадратичные формы
  • Критерий мультипликативной обратимости и методы нахождения обратного элемента для колец Zn и F[x]/f(x)
  • Неприводимые многочлены
  • Идеалы колец K{Z, Zn, F[x], F[x]/f(x)}.
  • Критерий максимальности идеалов J=a∙K
  • Китайская теорема об остатках для чисел и многочленов.
  • Условия разложимости кольца K{Zn, F[x]/f(x)} в прямую сумму колец.
  • Методы решения уравнений
  • Основные понятия и свойства теории конечных полей.
  • Описание конечного поля GF(q) как поля разложения многочлена xq-x=0.
  • Описание подполей конечного поля GF(q).
  • Алгебраические элементы поля над заданным подполем. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства.
  • Поле разложения неприводимого многочлена над конечным полем.
  • Примитивные элементы конечного поля
  • Функция след и ее свойства
  • Квадратичные вычеты и невычеты в поле Zp
  • Символы Лежандра и Якоби, формула Эйлера
  • Период многочлена над конечным полем. Методы нахождения периода многочлена, многочлены максимального периода.
  • Методы нахождения корней многочленов над полем Zp.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Аудиторная работа
  • неблокирующий Самостоятельная работа
  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Домашняя работа + защита домашней работы
  • неблокирующий Зачёт
  • неблокирующий Экзамен (4 модуль)
    Первый этап экзамена проводится в письменной форме по индивидуальным вариантам, которые будут выложены на платформе Google Class в 10-30 . По истечении часа , в течение 10 минут, ответы должны быть загружены в систему. Через час после этого на платформе Zoom пройдет устное обсуждение письменной части экзамена. Очередность подключения , а также идентификатор и пароль конференции будут сообщены после сдачи письменных работ. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка Zoom. При долговременном нарушении связи ( более одной минуты) студент не может продолжить участие в устном экзамене. Переэкзаменовка будет проведена по той же системе.
  • неблокирующий Экзамен (2 модуль)
  • неблокирующий Аудиторная работа
  • неблокирующий Самостоятельная работа
  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Домашняя работа + защита домашней работы
  • неблокирующий Зачет
  • блокирующий Итоговая аттестация
  • блокирующий Промежуточный экзамен
  • неблокирующий Коллоквиум
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • 2020/2021 учебный год 2 модуль
    0.2 * Контрольная работа + 0.3 * Домашняя работа + защита домашней работы + 0.5 * Экзамен (2 модуль)
  • 2020/2021 учебный год 4 модуль
    0.2 * Контрольная работа + 0.3 * Домашняя работа + защита домашней работы
  • 2021/2022 учебный год 1 модуль
    0.5 * Итоговая аттестация + 0.5 * Промежуточный экзамен
  • 2021/2022 учебный год 2 модуль
    0.35 * Итоговая аттестация + 0.15 * Коллоквиум + 0.5 * 2021/2022 учебный год 1 модуль
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Алгебра : Основы теории конечных групп,колец,полей: учебное пособие, Рожков, М. И., 2009
  • Курс алгебры, Винберг, Э. Б., 2013
  • Лекции по линейной алгебре, Гельфанд, И. М., 1971
  • Проскуряков И.В. - Сборник задач по линейной алгебре: учебное пособие - Издательство "Лань" - 2019 - 476с. - ISBN: 978-5-8114-4044-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/114701

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Авдошин, С. М. Дискретная математика. Модулярная алгебра, криптография, кодирование / С. М. Авдошин, А. А. Набебин. — Москва : ДМК Пресс, 2017. — 352 с. — ISBN 978-5-97060-408-3. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/93575 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
  • Введение в алгебру : учебник для вузов, Кострикин, А. И., 1977
  • Воскресенский, В. Е. Бирациональная геометрия линейных алгебраических групп : учебное пособие / В. Е. Воскресенский. — Москва : МЦНМО, 2009. — 408 с. — ISBN 978-5-94057-522-1. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9315 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.