• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Аспирантура 2020/2021

Дополнительные главы качественной теории динамических систем

Статус: Курс обязательный
Направление: 01.06.01. Математика и механика
Когда читается: 1-й курс, 1 семестр
Формат изучения: без онлайн-курса
Язык: русский
Кредиты: 4

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина относится к вариативной части подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре для направления 01.06.01 Математика и механика, профиля «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление». Читается на 1 году аспирантуры. Трудоемкость 4 ЗЕ.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Изучение важных примеров систем, иллюстрирующих разнообразие динамических эффектов в математических моделях и современных результатов качественной теории динамических систем.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Аспирант владеет понятийным аппаратом и мето-дологией качественной теории динамических систем, и находит их адекватное приложение в естественно-научных задачах
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Фракталы и хаос
    - Основы фрактальной геометрии - Конструктивные фракталы: фракталы и системы счисления; самоподобие; фрак-тальная размерность; фракталы Кантора, Коха, Минковского, Серпинского; общая схема по-строения конструктивных фракталов; анализ конструктивных фракталов (Коха, Минковского, Леви и др. ). - Системы итерированных функций (СИФ). Детерминированный и рандомизирован-ный алгоритмы построения СИФ. Динамические фракталы: одномерные комплексные эндо-морфизмы; множества Жулиа и Фату; фракталы Жулиа для квадратичных отображений и алго-ритмы построения. Фрактал Мандельброта. - Фракталы и хаос. Определение хаоса по Девани; примеры хаотических отображе-ний; хаос фракталов Жулиа; странный аттрактор в отображении Эно.
  • Символическая динамика
    - Странные аттракторы динамических систем. Различные определения странного ат-трактора. Настоящие странные аттракторы и квазиаттракторы. Примеры странных аттракто-ров. - Аттрактор Лоренца, система Лоренца. Геометрическая модель Афраймовича-Быкова-Шильникова. Основные бифуркации в системе Лоренца, приводящие к возникнове-нию странного аттрактора. Модель Шимицу-Мариока. - Двумерное отображение Эно. Динамические свойства и бифуркации, странные ат-тракторы (квазиаттракторы). Странные аттракторы трехмерных отображений. Сценарии воз-никновения дискретных аттракторов Лоренца и спиральных аттракторов; реализация этих сценариев на примере трехмерных отображений Эно. Нерешенные задачи. - Символическая динамика. Описания траекторий остающихся в расширенной окрестности гомоклинической траектории. - Отображения типа «Подкова С. Смейла». Символическая динамика, как способ описания детерминированных систем со сложной динамикой. - Растягивающие эндоморфизмы окружности и тора. Символическая динамика и структурная устойчивость - Соленоиды в системах со сложной динамикой. От конструкции Вьеториса-Ван-Данцинга до конструкции Смейла-Вильямса. - Порядок Шарковского. Критерий возникновения хаоса в одномерных отображениях отрезка. - Семейство логистических отображений. Каскад бифуркаций удвоения. Сценарий появления хаотической динамики. Константы Фейгенбаума. - Континуумы Вады. Аттракторы каскадов поверхностей. Конструкция аттрактора Р.В. Плыкина диффеоморфизма двумерной сферы. - DA-отображения. Конструкция отображений тора с растягивающими аттракторами коразмерности один. - Экспансивность. Построение экспансивных гомеоморфизмов поверхностей, взаи-мосвязь с псевдоаносовскими отображениями. - Отображения на локально тривиальных расслоениях. Конструкция каскадов, явля-ющихся локально прямыми произведениями диффеоморфизмов Аносова и грубых преобразо-ваний окружности. Взаимосвязь с частично гиперболическими диффеоморфизмами. - Дикие сферы и кривые. Построение динамических систем с регулярной динамикой и с дико вложенными инвариантными многообразиями седловых периодических точек.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий реферат
  • неблокирующий экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (I семестр)
    0.5 * реферат + 0.5 * экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • . Kuznetsov, Sergey. Strange Nonchaotic Attractors : Dynamics Between Order and Chaos in Qua-siperiodically Forced Systems [Электронный ресурс] / Sergey Kuznetsov, Arkady Pikovsky, and Ul-rike Feudel. – World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 2014, . – ISBN: 9789812566331 (Print).
  • Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. Methods Of Qualitative Theory In Nonlinear Dynamics (Part II). World Sci //Singapore, New Jersey, London, Hong Kong. – 2001.

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Grines V., Medvedev Timur, Pochinka O. Dynamical Systems on 2- and 3-Manifolds. Switzerland : Springer, 2016.
  • Rastelli, G., Vanevic, M., & Belzig, W. (2014). Quasiperiodicity and revivals in dynamics of quantum phase slips in Josephson junction chains and superconducting nanowires. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsbas&AN=edsbas.37A7EF6A