Начала функционального анализа и оптимизация

2022/2023

Статус: Майнор

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 3, 4 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Гордин Владимир Александрович, Шемендюк Александр Андреевич

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 80

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Почти три тысячи лет назад принцесса из Тира, Дидона обманула царя максиев – купила землю, которая уместится в шкуре быка, а затем из этой шкуры сделали тонкий ремешок и обтянули заметный кусок берега, на котором потом построили Карфаген. Но, помимо исторических последствий содеянного, осталась задача: какую форму нужно придать ремешку заданной длины, чтобы окружить наибольшую площадь. Ответ: если берег моря ровный, то это полуокружность. Настолько большого радиуса, насколько позволит длина ремешка. А как это доказать? А если берег моря не ровный? А если качество (и продажная стоимость) земли не постоянны? Какая тогда должна быть форма области внутри ремешка? Во многих случаях оптимизацию проводит не человек, а сама природа. Тяжелая цепь заданной длины, подвешенная за концы, выбирает форму, минимизирующую потенциальную энергию, луч, идущий в оптически неоднородной среде из точки А в точку Б, минимизирует не пройденный путь, а потраченное на путь время (в неоднородной среде это не одно и то же). Отсюда следуют законы Снеллиуса преломления луча при переходе через границу сред. Из-за рефракции можно видеть миражи. И Солнце, спустя целую минуту после его фактического захода за линию горизонта. В курсе мы обсудим, когда разгонять поезд, а когда тормозить, чтобы прибыть на следующую станцию как можно быстрее. Или как наилучшим образом согласовать полученную из GPS и спидометра информацию о движении автомобиля. Ведь они не абсолютно согласованы между собой - каждый измерительный прибор имеет свою ошибку измерения. Таким образом, вместо минимума функций одного или нескольких переменных, о поисках которого шла речь в первом курсе майнора, здесь в качестве аргумента минимизируемого функционала рассматриваются, функции, кривые, стратегии, поверхности и т.п. бесконечномерные объекты. Во многих случаях такую проблему минимизации удается свести к решению краевой задачи для дифференциального уравнения или системы. Будут рассматриваться как аналитические методы решения, так и численные алгоритмы. Например, варианты метода градиентного спуска.

Цель освоения дисциплины

Показать на многочисленных примерах из различных областей науки, техники, экономики эффективность математических моделей, основанных идеях оптимизации функций, кривых, поверхностей и т.п. Слушатели майнора должны будут на примерах познакомиться с идеями построения моделей (вывод минимизируемого функционала – критерия качества - и ограничений, интегральных или дифференциальных, для искомого решения, а также граничных условий) и изучить математическую теорию, позволяющую качественно и количественно исследовать решения соответствующих задач. Будут рассмотрены различные дискретные аппроксимации функционалов, позволяющие использовать компьютеры для приближенного решения этих задач. Будем изучать методы оценки точности и вычислительной трудоемкости этих алгоритмов. Нужно будет написать машинные коды для реализации этих алгоритмов. Речь идет как о работе со стандартными пакетами программ, так и об их самостоятельном написании. Анализ результатов будет сопровождаться построением различных визуализаций. Будет существенно использован материал всех курсов майнора. Предполагается, что задачи такого рода будут возникать в будущей профессиональной деятельности слушателя. Если у него такая модель уже имеется на примете, то возможно написание курсовой работы, а впоследствии - ВКР.

Планируемые результаты обучения

Умеет находить условные стационарные решения задач на условный экстремум интегральных функционалов при наличии интегральных или дифференциальных связей. Умеет строить модели согласования измеренной информации нескольких параметров и известных дифференциальных соотношений между ними.
Умеет построить алгоритм определения сопряженной точки и программно реализовать его
Умеет разработать итерационный алгоритм минимизации и программно его реализовать
Умеет разработать итерационный алгоритм наилучшей аппроксимации функции в пространстве многочленов степени не выше данной и среди рациональных функций с ограничениями степеней числителя и знаменателя, а также программно реализовать его.
Умеет решать простейшие дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных) в пространстве обобщенных функций.
Умеет составить интегральное уравнение для соответствующей физической задачи. Умеет численно определять первые собственные функции интегрального оператора. Умеет численно определять функцию Грина краевой задачи – интегральный оператор Фредгольма.
Умеет составлять и решать простейшие уравнения (и системы) Эйлера для интегральных функционалов. Умеет строить граничные условия трансверсальности для этих функционалов и условия Вейерштрасса – Эрдмана в случае разрывных коэффициентов.
Умеет строить гамильтониан для простейших задач и определять оптимальное кусочно-гладкое решение.
Умеет строить итерационные алгоритмы для сжимающих отображений.
Умеет строить лагранжианы для основных недиссипативных моделей и получать соответствующие законы эволюции.

Содержание учебной дисциплины

Функционалы и операторы.
Интегральные уравнения Фредгольма
Теория обобщенных функций
Гладкие функционалы
Вторая вариация
Принцип наименьшего действия
Задачи на условный экстремум
Принцип максимума Понтрягина
Минимакс
Численные методы минимизации функционалов

Элементы контроля

Домашняя работа
Решение задач включает аналитические построение, написание и отладку кода и анализ полученных результатов
Контрольная работа
Контрольная включает теоретические вопросы и задачи
Домашние работы
Решение задач включает аналитические построение, написание и отладку кода и анализ полученных результатов
Экзамен
Включает теоретическую часть и решение задачи на компьютере.

Промежуточная аттестация

2022/2023 учебный год 4 модуль
0.4 * Экзамен + 0.2 * Контрольная работа + 0.2 * Домашняя работа + 0.2 * Домашние работы

Программа дисциплины