• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2021/2022

Основы матричных вычислений

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика
Когда читается: 2-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ
Язык: русский
Кредиты: 5

Программа дисциплины

Аннотация

Данный курс посвящен прикладным аспектам работы с матрицами и является естественным продолжением классического курса линейной алгебры, который читается на первом году обучения. В рамках курса рассматриваются как теоретические, так и практические стороны малорангового приближения матриц, решения систем линейных уравнений и задачи наименьших квадратов, а также решения задачи на собственные значения. Особое внимание уделяется использованию изученных алгоритмов в современных прикладных задачах. Часть домашних заданий предполагает программирование на языке Python.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Дать теоретические и практические основы матричных вычислений, познакомить с областью их применения в задачах анализа данных и научных вычислениях
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знать основные матричные разложения и область их применения
  • Знать основные пакеты программ линейной алгебры
  • Получить навык реализации алгоритмов вычислительной линейной алгебры на языке Python
  • Уметь эффективно решать линейные системы и задачи на собственные значения с большими разреженными и структурированными матрицами.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Некоторые понятия матричного анализа
    Матричные нормы. Спектральный радиус. Сохранение длин и унитарные матрицы. Разложение Шура. Нормальные матрицы. Матричные функции. Ряд Неймана. Матрично-векторное дифференцирование.
  • Малоранговое приближение матриц и многомерных массивов
    Скелетное разложение матриц. Сингулярное разложение (SVD) и его основные свойства. Приближение матрицей меньшего ранга. ALS (alternating least squares) и рандомизированный алгоритмы поиска малорангового приближения. CUR разложение. Приложения сингулярного разложения. Интерпретируемость CUR разложения и его приложения. Кронекерово и тензорное произведения, их свойства. Каноническое разложение многомерных массивов. Разложение Таккера. Higher-order SVD (HOSVD).
  • Вычислительные аспекты линейной алгебры
    Представление чисел в компьютере. Обусловленность и вычислительная устойчивость. Вычисление произведения матриц. Матрицы со специальной структурой: разреженные, тёплицевы матрицы, циркулянты, матрица Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Дискретная свертка и ее приложения. Пакеты программ для решения задач линейной алгебры.
  • Метод наименьших квадратов
    QR разложение и способы его вычисления. Использование QR разложения для метода наименьших квадратов (МНК). Псевдообратная матрица. Использование SVD разложения для МНК. Линейная регрессия. L1- и L2-регуляризации.
  • Прямые методы решения систем линейных уравнений
    Теория возмущений и число обусловленности матрицы. LU разложение, его связь с методом Гаусса. Ошибки округления и выбор ведущего элемента. Разложение Холецкого. Прямые методы решения больших разреженных систем линейных уравнений: обратный алгоритм Катхилл-Макки, вложенное рассечение, алгоритм минимальной степени.
  • Итерационные методы решения систем линейных уравнений
    Метод простой итерации. Метод наискорейшего спуска и его недостатки. Метод итераций Чебышева. Подпространства Крылова. Соотношение Арнольди. Метод сопряженных градиентов, его сходимость. Метод обобщенных минимальных невязок (GMRES). Предобуславливание.
  • Задача на собственные значения
    Основы теории возмущений для задачи на собственные значения. Степенной метод и обратная итерация. Их применения для анализа графов. Метод Релея-Ритца. Методы Ланцоша и Арнольди. QR алгоритм и его модификации. Методы вычисления сингулярного разложения.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Теоретические домашние задания
  • неблокирующий Письменная контрольная работа
  • неблокирующий Письменный экзамен
    Проводится в конце 4-го модуля
  • неблокирующий Практические домашние задания в Python
  • неблокирующий Бонусные задачи
  • неблокирующий Проверочные работы
    Проводятся каждые 1-2 недели на семинарах.
  • неблокирующий Финальная проверочная работа
    Проводится в конце 3-го модуля
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    Округление(min(10, 0.4 * ТДЗ + 0.3 * ПДЗ + 0.2 * ПР + 0.1 * ФПР + 0.1 * БДЗ)). ТДЗ – средняя оценка за теоретические домашние задания ПДЗ – средняя оценка за практические домашние задания в Python БДЗ – средняя оценка за бонусные задачи ПР – средняя оценка за проверочные работы (до 10 минут), проводимые каждые 1-2 недели на семинарах ФПР – оценка за финальную проверочную работу, которая проводится в конце 3-го модуля КР – оценка за письменную контрольную работу, включающую теоретические вопросы и задачи Э – оценка за письменный экзамен, проводимый в конце 4-го модуля
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    Округление(min(10, 0.2 * ТДЗ + 0.15 * ПДЗ + 0.1 * ПР + 0.05 * ФПР + 0.2 * КР + 0.3 * Э + 0.1 * БДЗ)) Обратите внимание, что в 4-м модуле ТДЗ, ПДЗ, ПР являются средними оценками за оба модуля ТДЗ – средняя оценка за теоретические домашние задания ПДЗ – средняя оценка за практические домашние задания в Python БДЗ – средняя оценка за бонусные задачи ПР – средняя оценка за проверочные работы (до 10 минут), проводимые каждые 1-2 недели на семинарах ФПР – оценка за финальную проверочную работу, которая проводится в конце 3-го модуля КР – оценка за письменную контрольную работу, включающую теоретические вопросы и задачи Э – оценка за письменный экзамен, проводимый в конце 4-го модуля
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Методы численного анализа : учеб. пособие для вузов, Тыртышников, Е. Е., 2007

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Вычислительная линейная алгебра : теория и приложения, Деммель, Дж., 2001