Математический анализ 2 (углубленный курс)

Бакалавриат 2021/2022

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 2-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: с онлайн-курсом

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Колесниченко Елена Юрьевна, Мажуга Андрей Михайлович, Самсонов Сергей Владимирович

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 150

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Дисциплина представляет из себя стандартный курс математического анализа 2-го года, ориентированный на студентов, специализирующихся в прикладной математике. Курс содержит числовые ряды, функциональные ряды, кратные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Значимую часть курса занимают ряды Фурье и преобразование Фурье. Второй семестр посвящен условным экстремумам, подмногообразиям в вещественном векторном пространстве, а также основам векторного и комплексного анализа.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с теоретическими основами таких разделов математического анализа как теория рядов, кратное интегрирование, криволинейные и поверхностные интегралы, ряды и преобразование Фурье.
Формирование практических навыков работы с числовыми и функциональными рядами (включая ряды Тейлора и Фурье, производящие функции), кратными, криволинейными и поверхностными интегралами, преобразованием Фурье
Формирование умения решать задачи математического анализа численными методами (приближенное вычисление кратных интегралов, оценка скорости сходимости рядов и интегралов, метод градиентного спуска)
Ознакомление студентов с начальными теоретическими основами комплексного анализа и умение применять методы комплексного анализа в задачах интегрирования
Формирование навыков самостоятельной исследовательской работы в процессе решения нестандартных задач повышенной сложности

Планируемые результаты обучения

Знать основные свойства преобразования Фурье и уметь вычислять прямое и обратное преобразования Фурье от заданной функции
Знать основные системы координат (полярная, цилиндрическая, сферическая) и якобианы соответствующих замен координат
Уметь исследовать на равномерную сходимость несобственные интегралы, зависящие от параметра
Знание условий Коши-Римана и умение проверять функцию комплексного переменного на дифференцируемость
Знать определение гладкого подмногообразия в R^n и его касательного пространства в точке
Знать определение грассмановой алгебры и дифференциальной формы k-го порядка на пространстве R^n
Знать основные свойства бета- и гамма-функции
Знать способы вычисления стандартных несобственных интегралов: интеграл Эйлера-Пуассона (гауссов интеграл), интеграл Дирихле, интегралы Лапласа, формула Фруллани
Знать формулировку общей формулы Стокса и ее маломерных следствий: формулы Грина, формулы Гаусса-Остроградского, формулы Стокса
Знать формулировку общей формулы Стокса и ее маломерных следствий: формулы Грина, формулы Гаусса-Остроградского, формулы Стокса
Уметь вычислять дифференциал от заданной дифференциальной k-формы, и значение дифференциальной 1-формы на заданном касательном векторе
Уметь вычислять интегралы (от функции комплексного переменного) при помощи вычетов
Уметь вычислять кратные интегралы сведением к повторным
Уметь вычислять криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода
Уметь вычислять поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода
Уметь вычислять сложные кратные интегралы, пользуясь следствиями из формулы Стокса
Уметь вычислять суммы рядов, используя ряды Фурье и равенство Парсеваля
Уметь исследовать ряд на сходимость, абсолютную/условную сходимость
Уметь находить локальный экстремум дифференцируемой функции нескольких переменных, используя необходимые и достаточные условия
Уметь находить радиус сходимости степенного ряда
Уметь находить условный экстремум функции, используя метод множителей Лагранжа. Уметь использовать достаточное условие второго порядка для касательного пространства
Уметь раскладывать функцию в ряд Фурье на отрезке
Уметь суммировать числовые ряды, переходя к функциональным рядам
Уметь упрощать кратные интегралы переходом в более удобную систему координат

Содержание учебной дисциплины

Числовые ряды и бесконечные произведения
Функциональные последовательности и ряды
Ряды Фурье
Кратные интегралы
Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра
Преобразование Фурье
Подмногообразия. Экстремумы. Метод множителей Лагранжа.
Элементы векторного анализа и анализа дифференциальных форм
Начала теории функций комплексного переменного

Элементы контроля

Домашнее задание (БДЗ_1сем)
Листки с задачами высылаются раз в 2-3 недели. Решения сдаются учебным ассистентам
Контрольная работа (КР_1сем)
Письменная КР, 5 заданий по 2 балла, 1.5 часа.
Коллоквиум (Коллок_1сем)
Устный коллоквиум
Семинары (Семин_1сем)
На семинарах проводятся самостоятельные работы, оценку выставляет семинарист.
Экзамен (Экз_1сем)
Письменный экзамен: 5 заданий, каждое содержит короткий теоретический вопрос (вес 0.5) и задачу (вес 1.5). 2 часа.
Домашнее задание (БДЗ_2сем)
Листки с задачами высылаются раз в 2-3 недели. Решения сдаются учебным ассистентам
Контрольная работа (КР_2сем)
Письменная КР, 5 заданий по 2 балла, 1.5 часа
Коллоквиум (Коллок_2сем)
Семинары (Семин_2сем)
На семинарах проводятся самостоятельные работы, оценку выставляет семинарист.
Экзамен (Экз_2сем)
Для пилотного потока: Устный экзамен с прокторингом. Экзамен проходит в Zoom. Студент получает 2 вопроса и отвечает без подготовки. При ответе перед студентов могут лежать любые материалы. Для основного потока: Письменный экзамен проводится с синхронным проторингом. Экзамен проводится на платформе https://hse.student.examus.net. К экзамену необходимо подключиться за 10 минут до начала. На платформе Экзамус доступно тестирование системы. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: (выписать требования для прокторинга или дать ссылку на https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf)

Промежуточная аттестация

2021/2022 учебный год 2 модуль
0.15 * Домашнее задание (БДЗ_1сем) + 0.15 * Семинары (Семин_1сем) + 0.4 * Экзамен (Экз_1сем) + 0.15 * Контрольная работа (КР_1сем) + 0.15 * Коллоквиум (Коллок_1сем)
2021/2022 учебный год 4 модуль
0.09 * Домашнее задание (БДЗ_1сем) + 0.09 * Контрольная работа (КР_1сем) + 0.09 * Семинары (Семин_1сем) + 0.4 * 2021/2022 учебный год 2 модуль + 0.09 * Коллоквиум (Коллок_1сем) + 0.24 * Экзамен (Экз_1сем)

Программа дисциплины