• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2020/2021

Введение в римановы поверхности

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Дисциплина общефакультетского пула
Когда читается: 3, 4 модуль
Язык: русский
Кредиты: 6
Контактные часы: 72

Программа дисциплины

Аннотация

Основы теории римановых поверхностей были заложены во второй половине XIX века. В ней сошлись передовые на тот момент разработки анализа, алгебры и еще не созданной топологии. На протяжении всего XX века теория римановых поверхностей, объединившись с теорией комплексных алгебраических кривых, не раз выходила на передний план развития математики. Она позволила объяснить многие трудности, возникающие при интегрировании различных функций, и разработать эффективные методы взятия интегралов, прояснила теорию Галуа и привела к новому пониманию арифметики, стала полигоном для теории комплексных многообразий и теории функциональных классов. В последние десятилетия века римановы поверхности оказались востребованы как один из наиболее эффективных инструментов исследования интегрируемых систем и связанных с ними моделей математической физики.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Овладение различными характеристиками алгебраических кривых и умением вычислять эти характеристики.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знакомство с представлением двумерной поверхности как результатом склейки многоугольников. Знакомство с топологией проективных пространств.
  • Освоение сопоставления двумерной поверхности алгебраическому уравнению на проективной плоскости.
  • Освоение способов задания мероморфных функций на алгебраической кривой.
  • Освоение способов задания 1-форм на алгебраической кривой. Освоение методов вычисления вычетов 1-форм в полюсах.
  • Освоение общего понятия дивизора. Умение вычислять дивизоры меромофных функций и 1-форм на алгебраической кривой.
  • Понимание формулы Римана-Роха. Умение применять формулу Римана-Роха для вычисления различных характеристик алгебраической кривой.
  • Освоение умения строить каноническое отображение данной алгебраической кривой.
  • Освоение умения находить точки Вейерштрасса на данной алгебраической кривой. Нахождение оценок на количество точек Вейерштрасса.
  • Умение вычислять якобиан кривой и образ отображения Абеля на якобиане.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Предварительные сведения.
  • Определения. Компактная риманова поверхность, ассоциированная с алгебраическим уравнением на плоскости
  • Мероморфные функции на римановой поверхности
  • Дифференциальные 1-формы и векторные поля на римановых поверхностях. Вычеты
  • Дивизоры.
  • Формула Римана–Роха и её приложения
  • Канонические кривые.
  • Точки Вейерштрасса
  • Теорема Абеля
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий письменная контрольная работа
  • неблокирующий письменная контрольная работа
  • неблокирующий участие в работе на семинарах
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    если суммарная оценка за две контрольные и работу на семинарах превышает 10, то округляется до 10.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Графы на поверхностях и их приложения, Звонкин, А. К., 2010

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Принципы алгебраической геометрии. Т. 1: ., Гриффитс, Ф., 1982