Основы теории систем и систем управления

2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Майнор

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1, 2 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Афанасьев Валерий Николаевич, Преснова Анна Павловна

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 32

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Данный раздел предназначен для формирования знаний, умений и навыков в области моделирования медико-биологических систем, в том числе систем с управлением. Построение моделей и оптимизация - основные направления междисциплинарных работ, дающие возможность надежного описания систем и процессов в медицине. Рассматриваются основы построения и исследования моделей систем, а также математические методы построения систем управления объектами и процессами на примерах из биологии и медицины. Математическое моделирование процессов и объектов проводится в пакете MATLAB Simulink.

Цель освоения дисциплины

Формирование знаний, умений и навыков в области моделирования медико-биологических систем, в том числе систем с управлением

Планируемые результаты обучения

Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Исследование нелинейных систем второго порядка. Модель Лотки. Модель Вольтерра.
Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния. Устойчивость по Ляпунову. Характеристическое уравнение. Собственные числа. Собственные вектора. Метод изоклин. Типы особых точек. Бифуркационная диаграмма.
Непрерывные и дискретные модели роста популяций, описываемые одним уравнением. Уравнение Ферхюльста. Модель Мальтуса. Непрерывная модель логистического роста. Модель с нижней критической границей численности популяции. Дискретная модель логистического роста. Использование пакета MATLAB Simulink для визуализации динамики моделей. Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Бифуркация удвоения периода. Хаос. Лестница Ламерея.
Дифференциальное уравнение первого порядка. Фазовое пространство. Фазовые переменные. Стационарное состояние. Устойчивость стационарного состояния по Ляпунову. Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния. Аналитический метод определения устойчивости. Графический метод определения устойчивости.
Мультистационарные системы. Триггер. Силовое и параметрическое переключение триггера. Конкуренция. Отбор одного из двух равноправных видов.
Понятие автоколебаний. Предельные циклы. Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова-Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний.
Основные понятия теории динамических систем. Предельные множества. Пространственно-временные агентные модели взаимодействия видов.
Использование пакета MATLAB Simulink. Анализ динамики переменных в модели развития рака и сахарного диабета, модели иммунной системы человека при ВИЧ. Эпидемиологические модели.

Содержание учебной дисциплины

Введение. Модели биологических систем, описываемые одним дифференциальным уравнением первого порядка.
Понятие модели. Объекты, цели и методы моделирования. Модели в разных науках. Компьютерные и математические модели. История первых моделей в биологии. Современная классификация моделей биологических процессов. Регрессионные, имитационные, качественные модели. Принципы имитационного моделирования и примеры моделей. Специфика моделирования живых систем. Модели, приводящие к одному дифференциальному уравнению. Понятие решения одного автономного дифференциального уравнения. Стационарное состояние (состояние равновесия). Устойчивость состояния равновесия. Методы оценки устойчивости.
Модели роста популяций.
Непрерывные модели: экспоненциальный рост, логистический рост, модели с наименьшей критической численностью. Модель роста человечества. Модели с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Диаграмма и лестница Ламерея. Типы решений при разных значениях параметра: монотонные и затухающие решения, циклы, квазистохастическое поведение, вспышки численности. Матричные модели популяций. Влияние запаздывания. Вероятностные модели популяций.
Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений.
Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Метод изоклин. Главные изоклины. Устойчивость стационарного состояния. Линейные системы. Типы особых точек: узел, седло, фокус, центр. Пример: химические реакции первого порядка.
Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка.
Метод Ляпунова линеаризации систем в окрестности стационарного состояния. Примеры исследования устойчивости стационарных состояний моделей биологических систем. Уравнения Лотки. Уравнения Вольтерра. Метод функции Ляпунова.
Мультистационарные системы.
Триггер. Примеры систем с двумя устойчивыми стационарными состояниями. Силовое и параметрическое переключение триггера. Эволюция. Отбор одного из двух и нескольких равноправных видов. Модель конкуренции двух биологических видов в случае неограниченного и ограниченного роста.
Колебания в биологических системах.
Понятие автоколебаний. Изображение поведения автоколебательной системы на фазовой плоскости. Предельные циклы. Условия существования предельных циклов. Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова-Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний. Модель Брюсселятор. Примеры автоколебательных моделей процессов в живых системах. Колебания в темновых процессах фотосинтеза. Автоколебания в модели гликолиза. Внутриклеточные колебания концентрации кальция.
Динамический хаос. Модели биологических сообществ. Модели взаимодействия видов.
Основные понятия теории динамических систем. Предельные множества. Аттракторы. Странные аттракторы. Динамический хаос. Линейный анализ устойчивости траекторий. Диссипативные системы. Устойчивость хаотических решений. Размерность странных аттракторов. Стационарные состояния и динамические режимы в сообществе из трех видов. Динамический хаос в моделях взаимодействия видов. Трофические системы с фиксированным количеством вещества. Модель системы четырех биологических видов. Гипотезы Вольтерра. Аналогии с химической кинетикой. Вольтерровские модели взаимодействий. Классификация типов взаимодействий. Конкуренция. Хищник-жертва. Обобщенные модели взаимодействия видов. Модель Колмогорова. Модель взаимодействия двух видов насекомых МакАртура. Пространственно-временные агентные модели взаимодействия видов.
Математическое моделирование в медицине.
Актуальные модели биологических процессов организма человека, применяемые в медицине. Модели развития рака и сахарного диабета. Модели иммунной системы человека при ВИЧ. Эпидемиологические модели. SIR и SIRS модели.

Элементы контроля

Домашнее задание
Домашнее задание выдается индивидуально или группе студентов (2-3 чел.). С целью текущего контроля успеваемости предусмотрена защита домашнего задания.
Экзамен
Контрольная работа

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.25 * Домашнее задание + 0.25 * Контрольная работа + 0.5 * Экзамен

Программа дисциплины