Графы на поверхностях

2020/2021

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Преподаватели: Амбург Наталья Яковлевна, Бычков Борис Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 30

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Александр Гротендик образно и поэтично называл специальные графы на двумерных поверхностях детскими рисунками (dessins d'enfant). Изучение детских рисунков, с одной стороны, не требует никакой специальной подготовки и позволяет легко познакомиться с фундаментальными топологическими инвариантами графов и поверхностей, такими как род и эйлерова характеристика, а с другой стороны быстро приводит к задачам и понятиям, лежащим в самом сердце алгебраической геометрии, теории чисел и математической физики. Именно в работе с такими понятными каждому школьнику объектами, как детские рисунки, Гротендик видел способ преодоления барьера чрезмерной сложности и техничности, отпугивающего талантливых молодых людей от изучения современной математики (См. Grothendieck A., Esquisse d’un programme, где намечено несколько маршрутов, способных сократить путь от простого к сложному). В этом курсе мы начнём с самых с азов маломерной комбинаторной топологии и с разных точек зрения обсудим несколько красивых и наглядных задач, находящихся в центре самого пристального внимания математиков и физиков.

Цель освоения дисциплины

Начать с азов маломерной комбинаторной топологии и с разных точек зрения обсудить несколько красивых и наглядных задач, находящихся в центре наиболее пристального внимания современных математиков и физиков.

Планируемые результаты обучения

Изучение детских рисунков довольно быстро приводит к нетривиальным задачам и концепциям, лежащим в самом сердце алгебраической геометрии, теории чисел и математической физики.

Содержание учебной дисциплины

Классификация двумерных компактных связных поверхностей без края.
Детские рисунки Гротендика. Формула Эйлера.
Группа вращения ребер. Автоморфизмы детского рисунка.
Математические бильярды. Намотки тора.
Римановы поверхности. Пара Белого. Математический бильярд как Риманова поверхность.
Матричные модели и ленточные графы. Производящие функции для графов на поверхностях.

Элементы контроля

Задача 1
Задача 2
Задача 3

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.3 * Задача 1 + 0.3 * Задача 2 + 0.4 * Задача 3

Программа дисциплины