2020/2021
Научно-исследовательский семинар "Алгебраическая геометрия: теория деформаций с приложениями к теории Мори"
Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Преподаватели:
Жгун Владимир Сергеевич
Язык:
английский
Кредиты:
3
Контактные часы:
36
Course Syllabus
Abstract
Целью курса является разобрать примеры и конструкции современной алгебраической геометрии, которые обычно опускаются в стандартных курсах в связи с отсутствием времени. Подход Гротендика, основанный на языке схем позволяет построить такие объекты как схема Гильберта (классифицирующая замкнутые подсхемы данной схемы), Quot схема, схема морфизмов. Теория деформаций изучает инфинитезимальную структуру этих схем, и позволяет много сказать об объектах для которых рассматриваются деформации. Эта идея была использована Мори, который исследовал открыл, что геометрия многообразий тесно связана с пространством морфизмов рациональных кривых. В курсе мы обсудим эти темы и многие другие.
Learning Objectives
- Освоение методов теории деформаций для следующих объектов: подсхем в фиксированной схеме, локально свободных пучков на схеме, морфизмов между двумя схемами, абстрактные деформации схемы. Освоение методов теории Мори, связанной с геометрией рациональных кривых, а также основных ее теорем: теоремы о конусе, связности Шокурова, теоремы о свободе линейной системы. Освоение теорем Фултона-Хансена о связности и приложения этих теорем для доказательства теорем Зака.
Expected Learning Outcomes
- Освоение процедуры вычисления касательных пространств к пространствам морфизмов.
- Освоение построения схемы Гильберта
- Освоение техники деформации рациональных кривых
- Освоение техники пучков мультипликаторов для доказательства теорем связности и обращения в нуль
- Освоение инструментов таких как теоремы связности Фултона Хансена и их применение к геометрии проективных алгебраических многообразий
Course Contents
- Deformation theory. Deformations of different objects: schemes, sheaves, morphisms etc. Tangent spaces to the space of deformations. Infinitesimal obstructions.Теория деформаций. Касательные пространства к пространствам морфизмов и деформаций
- Hilbert, Quot, Hom and Chow schemes.Схема Гильберта, Quot схема, схема Чжоу
- Applications to the spaces of rational curves. Bend and break technique.Приложение к пространствам кривых.
- Multiplier ideals. Kawamata-Viehweg vanishing theorem. Shokurov non-vanishing and base-point-freeness theorem. Mori cone theorem.Пучки мультипликаторы. Теоремы об обращении в нуль и непустоте Линейной системы. Теорема Мори о конусе
- Fulton-Hansen connectedness theorem and its applications to geometry of projective varieties. Zak theorems.Теоремы Фултона Хансена и их приложения к геометрии проективных многообразий.
Bibliography
Recommended Core Bibliography
- Deformation theory, Hartshorne, R., 2009
- Positivity in algebraic geometry I : classical setting: line bundles and linear series, Lazarsfeld, R., 2004
- Rational curves on algebraic varieties, Kollar, J., 2009
Recommended Additional Bibliography
- Birational geometry of algebraic varieties, Kollar, J., 2008
- Lectures on resolution of singularities, Kollar, J., 2007
- Local cohomology : a seminar given by A. Grothendieck Harvard University, Hartshorne, R., 1967
- Positivity in algebraic geometry II : positivity for vector bundles, and multiplier ideals, Lazarsfeld, R., 2004